Sei \(\mu_f=X^r+a_{r-1}X^{r-1}+\cdots+a_1X+a_0\)
das Minimalpolynom von \(f\).
Es gilt \(f\circ g=g\circ f=id\), insbesondere sind also \(f\) und \(g\) vertauschbar.
Nun ist \(f^r+a_{r-1}f^{r-1}+\cdots+a_1f+a_0\cdot id=0\)
Auf diese Gleichung wenden wir \(g^r\) an:
\(g^r\circ(f^r+a_{r-1}f^{r-1}+\cdots+a_1f+a_0\cdot id)=0\).
Wegen der Linearität von \(g, g^2,\cdots , g^r\) wird daraus:
\(id+a_{r-1}g+\cdots+a_1g^{r-1}+a_0g^r=0\), und schließlich
\(g^r+b_{r-1}g^{r-1}+\cdots+b_1g+b_0\cdot id=0\),
wobei \(b_{r-1}=a_0^{-1}a_1,\cdots,\; b_1=a_0^{-1}a_{r-1},\; b_0=a_0^{-1}\) ist.
\(g\) ist demnach Nullstelle von \(p=X^r+b_{r-1}X^{r-1}+\cdots+b_1X+b_0\)
Aus Symmetriegründen ist dann sogar \(\mu_g=p\).
