Du suchst also ein irreduzibles normiertes Polynom aus ℂ[x]
bzw. ℝ[x] bzw ℚ[x] , das (1+i)/ √2 als Nullstelle hat .
Über ℂ[x] geht das wohl mit z- (1+i)/ √2.
Über ℝ[x] kann man wohl so vorgehen: Du hast ja z√2 = 1+i
bzw. z√2 - 1 = i. Um das i loszuwerden muss man wohl quadrieren
2z^2 -2√2 * z + 1 = -1
==> 2z^2 -2√2 * z + 2 = 0 normieren:
==> z^2 -√2 * z + 1 = 0 ,
also Minimalpolynom hier z^2 -√2 * z + 1.
Damit man in ℚ[x] was findet, muss √2 noch weg, also
z^2 -√2 * z + 1 = 0
==> z^2 + 1 = √2 * z quadrieren
==> z^4 +2z^2 + 1 = 2z^2
==> z^4 + 1 = 0
Damit ist z^4 + 1 das Gesuchte.
