Änderungsraten der Funktion f(x) = 1/2x^2

Question

Gegeben ist die Funktion f(x) = 1/2x²

a) Bestimmen Sie die mittlere Änderungsrate von f auf dem Intervall [0;2]

b) Bestimmen Sie die lokale Änderungsrate von f an der Stelle x₀ = -1 zeichnerisch.

c) Bestimmen Sie die lokale Änderungsrate von f an der Stelle x₀ = 2 rechnerisch.

Meine bisherigen Ergebnisse:

a) Mittlere Änderungsrate = 1

b) ??

c) Lokale Änderungsrate = 2

Comments

a) ist richtig.
c) ist falsch.

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b) heißt, dass du eine Tangente an dieser Stelle zeichnen musst. Von der entstehenden Tangente musst du dann die Steigung ermitteln mit Hilfe der Zeichnung.

c) funktioniert mit Hilfe der 1. Ableitung.

Answer 1

Gegeben ist die Funktion f(x) = 1/2x²

a) Bestimmen Sie die mittlere Änderungsrate von f auf dem Intervall [0;2]

m = (f(2) - f(0)) / (2 - 0) = 1

b) Bestimmen Sie die lokale Änderungsrate von f an der Stelle x₀ = -1 zeichnerisch.

f'(x) = 1/2*(2x) = x
f'(-1) = -1

c) Bestimmen Sie die lokale Änderungsrate von f an der Stelle x₀ = 2 rechnerisch.

f'(2) = 2

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Herleitung der Ableitung über den Differenzialquotienten:

f'(x) = lim (h --> 0) (f(x + h) - f(x)) / h
f'(x) = lim (h --> 0) (1/2·(x + h)^2 - 1/2·x^2) / h
f'(x) = lim (h --> 0) (1/2·x^2 + h·x + 1/2·h^2 - 1/2·x^2) / h
f'(x) = lim (h --> 0) (h·x + 1/2·h^2) / h
f'(x) = lim (h --> 0) (x + 1/2·h) = x