Bitte um Lösungsweg. Klammern/Potenzen/Nullstellen

Question

Ich soll bei folgenden Funktionstypen die Nullstellen berechnen. Eine exemplarisch:

(5x - 8) • (3x - 4)⁴ - (3x - 4)⁵ 

(3x - 4)⁵

Das soll ein Bruchstrich sein. Ich weiß, dass es bei Nullstellen nur darum geht den Zähler Null zu setzen, der Nenner ist egal (außer man will die Pole). Intuitiv hab ich versucht erst einmal die Potenzklammern aufzulösen in 3x⁴- 48x³+ 256 und das erneut multiplizieren mit 5x - 8, das selbe mit der rechten Seite um es dann zusammen zu legen um später mit Polynomendivision / PQ-Formel etc. ans Ziel zu kommen. Nur leider krieg ich es nicht hin. Daher denke ich, dass es einen anderen Weg geben muss. Wahrscheinlich ein einfaches hoch potenzieren der linken Seite auf ⁵ um dann eine Nullstelle zu erraten. Nur wie genau klappt das?

Comments

Kürze doch erstmal mit (3x-4)⁴

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mit dem Nenner kürzen ?

Was bleibt dann?:

(5x-8) -(3x-4)⁵
(3x-4)

? o0

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Nein, so kürzt man nicht wenn eine Differenz im Zähler steht. Richtig wäre nach dem Kürzen:

$$\frac{(5x-8)-(3x-4)}{3x-4}$$

Bei Summen/Differenzen musst du natürlich jeden Summanden kürzen!

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Okay das hab ich verstanden. Wie geht es nun weiter um an die Nullstellen zu kommen ?

Kann ich dann nicht zusammenfassen wie folgt:

2x+4
3x-4

Bin echt nicht fit in der Sache. Vielen Dank für deine Mühe!

Answer 1

du hast nicht ganz richtig zusammengefasst (könnte natürlich auch nur ein Tippfehler von dir sein).

Du hast also nun $f(x) = \frac{2x-4}{3x-4}$

und suchst die Nullstellen. Eigentlich weißt du ja wie es geht, du musst schauen wann der Zähler Null ist.

$$2x-4 = 0 \Rightarrow x = 2$$

Also nur eine Nullstelle.

Viel angenehmer als die 5. Potenz auszumultiplizieren oder? :)

Gruß

Comments

HEy super danke! Das hab ich verstanden. Was würdest du machen, wenn eine einfache Kürzung am Anfang nicht funktioniert oder die Potenz im Nenner gleich hoch ist wie im Zähler, z.B. bei:

(4x - 1)⁴  -   (2x + 1) * (4x - 1)³

(4x - 1)⁴

Ich kann ja nicht den ganzen Nenner wegkürzen. Kürze ich dann (..)³ und erhalte:

(4x - 1) - (2x + 1)

(4x - 1)

Wäre es dann:

   2x -2  

(4x - 1)

Nullstelle: 1

?

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Jupp, du scheint es verstanden zu haben ;). Man kürzt nicht mit dem Nenner sondern bestenfalls mit dem größten Faktor den Zähler und Nenner gemeinsam haben, und das ist in diesem Fall (4x-1)³ wie du richtig erkannt hast.