x^2 + y^2 = z^2 Lösungen x,y,z ∈ ℕ mit {x,y,z} ∉ {3,4,5} besitzt

Question

1.) Zeigen Sie, dass die Gleichung x² + y² = z²  Lösungen x,y,z ∈ ℕ mit {x,y,z} ∉ {3,4,5} besitzt

2.) Zeigen Sie: x und y können nicht beide ungerade sein.

Comments

Suchbegriff:

pythagoreische Tripel

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1.) wähle z.B. x=3 , y=4 , z=5

Answer 1

zu 1) z.B. 6²+8²=10² oder auch 12²+5²=13².

zu 2) Annahme: x,y∈ℕ, dass x²+y² Quadratzahl, wobei x und y beide ungerade

Dann lassen sich x und y darstellen in der Form x=2n+1, y=2k+1 mit natürlichen n und k. Dann gilt

x²=4n²+4n+1≡1mod4 und y²=4k²+4k+1≡1mod4. Daher folgt z²:=x²+y²≡1+1=2mod4. Damit ist z² insbesondere eine gerade Zahl, also auch z, woraus folgt, dass sich z darstellen lässt als z=2m mit einem natürlichem m. Dann gilt aber z²=4m²≡0mod4, dies ist aber ein Widerspruch zu x²+y²≡2mod4. Daher ist die Annahme, dass x und y beide ungerade sind, falsch, und die zu zeigende Gegenbehauptung ist wahr. qed

Im Übrigen ist Aufgabenteil 1 falsch formuliert (korrekt: (x,y,z)≠(3,4,5).

Answer 2

nimm einfach 6,8,10 statt 3,4,5
6^2 + 8^2 = 10^2
36 + 64 = 100 ok.