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und zwar will ich folgende Kontraktive Folge bestimmen:

Es sei (an)n∈N0 eine beschränkte Folge so dass ein 0 ≤ q < 1 existiert mit

|an - am| ≤ q|an-1 - am-1| , n,m ∈ N

Zeige dass die Folge konvergiert.

Geht das denn mit dem Epsilon-Beweis? Ich rätsel schon die ganze Zeit wie man das machen könnte...

von

Weisst du etwas über Cauchy-Folgen?

Ja, aber ich weiss nicht wie man das in diesem speziellen Fall anwenden oder beweisen kann :(

Hast du da eine Idee?

Uni Marburg? :D

1 Antwort

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Wenn die Ungleichung \( | a_n - a_m | \le q | a_{n-1} - a_{m-1} | \) für alle \( n,m \in \mathbb{N} \) gilt, gilt sie auch für \( m = n-1\) In diesem Fall folgt \( | a_n - a_m | \le q^{n-1} | a_1 - a_0 | \le \epsilon \) falls \( n \) groß genug ist für jedes \( \epsilon > 0 \)  Damit ist die Folge konvergent.

von 33 k

Die Lösung ist mir soweit ersichtlich. Aber woher kommt das qn-1 ?

$$  | a_n - a_{n-1} | \le q | a_{n-1} - a_{n-2} | \le q^2 | a_{n-2} - a_{n-3} | $$ usw.

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