Wahrscheinlichkeit, dass Passagiere, die gebucht haben, keinen Platz bekommen soll kleiner als 5% sein.

Question

Aufgabe:

Ein Ausflugsschiff hat 100 Plätze. Da erfahrungsgemäß 15% der Buchungen wieder rückgängig gemacht werden, nimmt der Eigentümer grundsätzlich 115 Buchungen an.
a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Ausflug kein Passagier, der gebucht hat, abgewiesen werden muss.
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit bleiben bei einem Ausflug mehr als fünf Plätze frei?
c) Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Ausflug Passagiere, die gebucht haben, keinen Platz bekommen soll kleiner als 5% sein. Wie viele Buchungen dürfen dann angenommen werden?

Problem/Ansatz:

Bei c) habe ich durch probieren n=111 herausbekommen. Kann man das auch irgendwie berechnen ohne nur zu probieren?

Comments

Die kumulative Binomialverteilung sieht so aus:

\( P(X \leq k)=\sum \limits_{i=0}^{k}\binom{n}{i} \cdot p^{i} \cdot(1-p)^{n-i} \)

Das gesuchte n steckt im Binomialkoeffizienten und im Exponenten bei jedem der Summanden. Daher gibt es keinen algebraischen Weg der exakten Berechnung der resultierenden Ungleichung in der Aufgabe, man kommt nur über Näherungen oder Probieren zum Ziel. Möglicherweise etwas unbefriedigend, aber so ist es halt.

Answer 1

Ein Ausflugsschiff hat 100 Plätze. Da erfahrungsgemäß 15% der Buchungen wieder rückgängig gemacht werden, nimmt der Eigentümer grundsätzlich 115 Buchungen an.

a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Ausflug kein Passagier, der gebucht hat, abgewiesen werden muss.

∑ (x = 0 bis 100) ((115 über x)·0.85^x·0.15^(115 - x)) ≈ 0.7590

b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit bleiben bei einem Ausflug mehr als fünf Plätze frei?

∑ (x = 0 bis 94) ((115 über x)·0.85^x·0.15^(115 - x)) ≈ 0.1955

c) Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Ausflug Passagiere, die gebucht haben, keinen Platz bekommen soll kleiner als 5% sein. Wie viele Buchungen dürfen dann angenommen werden?

Probiere statt 115 etwas kleinere Werte. Für 111 erhalte ich

∑ (x = 0 bis 100) ((111 über x)·0.85^x·0.15^(111 - x)) ≈ 0.9555

Comments

Ich hatte nur ein Frage zu c), da du die nicht beantwortest hast vermute ich mal das es wirklich nur durch probieren geht

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Du kannst auch näherungsweise mit der Normalverteilung rechnen. Das ist allerdings aufwändiger und haben auch nicht alle im Unterricht gehabt.

Außerdem bekommt man dann nur eine Näherungslösung die man auch wieder mit der Binomialverteilung prüfen muss.

NORMAL((100.5 - n·0.85)/√(n·0.85·0.15)) = 0.95 --> n = 110.96

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Ich hatte nur ein Frage zu c), da du die nicht beantwortest hast

Es ist normal, dass MC auf konkrete Fragen der FS nicht eingeht und einfach nur seine Lösung postet. Beachte daher einfach den Kommentar oben von user26605. :)

Answer 2

Kann man das auch irgendwie berechnen ohne nur zu probieren?

Nein.