Bei der folgenden Aufgabe soll man entscheiden, ob die gegebenen Vorschriften Abbildungen definieren und ob diese ggf linear sind.
a)
\( f:\left\{\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3} \mid x+2 y=z \text { und } z-y=x\right\} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \)
\( \operatorname{mit} f\left(\lambda \cdot\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{c}-\lambda \\ \lambda\end{array}\right) \) für alle \( \lambda \in \mathbb{R} . \)
b)
\( g: \operatorname{Span}\left(\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ -1 \end{array}\right)\right) \rightarrow \mathbb{R}^{2} \)
mit
\( g\left(\lambda\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)+\mu\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)+\nu\left(\begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ -1 \end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{c} \lambda+\mu \\ \nu \end{array}\right) \)
für alle \( \lambda, \mu, \nu \in \mathbb{R} \).
