Berechnung der Fourierreihe einer 2π periodischen Funktion

Question

(a) Beweisen Sie die Relation

\( \frac{1}{2}+\sum \limits_{k=1}^{n} \cos (k x)=\frac{\sin \left(\left(n+\frac{1}{2}\right) x\right)}{2 \sin \left(\frac{1}{2} x\right)}, \quad(n \in \mathbb{N}) \)

(b) Sei f: ℝ → ℝ die 2π-periodische Funktion mit f(x) = (x - π)² auf [0, 2π]. Berechnen Sie die Fourierreihe von f.

Comments

Hat a) etwas mit b) zu tun? In der Überschrift fragst du nach b). Das würde heissen: Man darf a) benutzen. Oder?

Zu a) kennst du Halbwinkel- oder Doppelwinkelformeln?

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a) und b) sind eine Aufgabe, also dürfte man a) für b) verwenden..

Die Begriffe sind mir nicht bekannt. Kann es sein, dass sie etwas mit den Additionstheoremen zu tun haben?

Answer 1

Wegen \( 2 \cos( kx) = e^{ ikx } + e^{ -ikx} \) folgt $$  2 \sum_{k=0}^n \cos(kx) = \sum_{k=0}^n \left( e^{ ikx } + e^{ -ikx} \right)  $$

und daraus

$$ \sum_{k=0}^n \left( e^{ ikx } + e^{ -ikx} \right) = \frac{ e^{ i(k+1)x } - 1 }{ e^{ix} -1   } + \frac{ e^{-i(k+1)x} -1 }{ e^{-ix} - 1  } = \frac{ \sin \left[ \left( n+\frac{1}{2} \right) x \right] }{  \sin \left( \frac{x}{2} \right) } + 1 $$ und damit die Behauptung (a)

Zu (b)

Einfach die Fourierkoeffizienten ausrechnen ergibt

$$ a_0 = \frac{8}{3} \pi^2 $$ und $$  a_k = \frac{ 4 }{ k^2 } (-1)^k $$ und

$$ b_k = \frac{ 4 \pi }{ k } (-1)^k  $$

Die Approxiamtion sieht dann für \( n = 10 \) so aus