Summe von zwei verschiedenen Ziffern abhängig

Question

Wählen Sie zwei verschiedene Ziffern und bilden aus diesen die größte und die kleinste Zahl und dann deren Differenz. Aus den Ziffern der Differenz (Achtung: Bei einem einstelligen Ergebnis ist die erste Ziffer 0) bilden Sie wieder die kleinste und größte Zahl und dann deren Summe. 

Hängt diese Summe von den gewählten Ziffern ab?

Wenn die Summe nicht von den Ziffern abhängt, beweisen Sie, dass die Summe konstant ist.

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Bitte liefere mal ein paar Beispiele!

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Zwei verschiedene Ziffern: z.B. 2 und 0

Kleinste Zahl: 02   Größte Zahl:20

Differenz: 20-02=18

Aus 18 folgt dann: kleinste Zahl: 18  größte Zahl: 81

Summe: 18+81=99

Ist das Ergebnis nun abhängig von 0 und 2??

Answer 1

Bezeichne die Ziffern mit \(x\) und \(y\). Man kann \(0\le x< y\le9\) annehmen.
Die größere Zahl lautet \(10y+x\).
Die kleinere Zahl lautet \(10x+y\).
Deren Differenz ist \((10y+x)-(10x+y)=10(y-x-1)+(10+x-y)\).
Die gefragte Summe berechnet sich nun aus$$s=\big(10(y-x-1)+(10+x-y)\big)+\big(10(10+x-y)+(y-x-1)\big)$$$$s=99.$$

Answer 2

Vorschlag:

$$ |(10a+b)-(10b+a)| $$
$$ |10a-10b+b-a| $$
$$ |10(a-b)+(b-a)| $$
$$ |(10(a-b)+(b-a))+(10(b-a)+(a-b))| $$

sofern ich die Aufgabenstellung richtig aufgefasst habe ...

Comments

Es tut mir leid, ich verstehe den Vorschlag nicht.. 

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sorry - hatte mich vertippt!

inzwischen nacheditiert - bitte guck nochmal jetzt

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arrrgh!

ich hab ja gar nicht an den Übertrag gedacht! Also vergiss, was ich da oben verzapft habe.

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Zwei verschiedene Ziffern: z.B. 2 und 1

Kleinste Zahl: 12   Größte Zahl:21

Differenz: 21-12=09

Aus 09 folgt dann: kleinste Zahl: 09  größte Zahl: 90

Summe: 09+90=99

Zwei verschiedene Ziffern: z.B. 3 und 1

Kleinste Zahl: 13   Größte Zahl: 31

Differenz: 31-13=18

Aus 18 folgt dann: kleinste Zahl: 18  größte Zahl: 81

Summe: 18+81=99

Zwei verschiedene Ziffern: z.B. 3 und 7

Kleinste Zahl: 37  Größte Zahl: 73

Differenz: 73-37=36

Aus 36 folgt dann: kleinste Zahl: 36  größte Zahl: 63

Summe: 36+63=99

usw ...