Zeigen, dass eine lineare Abbildung und ein Vektor linear unabhängig sind.

Question

Aufgabe:

Sei $f: V \rightarrow V$ eine lineare Abbildung und $v \in V$ ein Vektor mit $f(v) \neq 0$ und $(f \circ f)(v)=0$.

Zeigen Sie, dass dann $v$ und $f(v)$ linear unabhängig sind.

Answer 1

Das geht direkt mit der Definition:

Seien $\alpha,\beta\in\mathbb{K}$, sodass $\alpha v+\beta f(v)=0$. Du musst zeigen, dass dann $\alpha=\beta=0$ ist.

Wende dazu auf beiden Seiten der Gleichung die Abbildung $f$ an.