Zweite Ableitung einer Funktion der Verknüpfung h•(f•g) .

Question

Es seien f,g,h: ℝ→ℝ zweifach differenzierbare Funktionen . Bestimmen sie die zweite Ableitung von :

h•(f•g) .

Weiß vielleicht einer wie die Aufgabe gelöst werden soll. ? Bin dabei echt überfragt.

Mfg :)

EDIT: h•(f•g)  ist Verknüpfung.

Comments

Kannst du noch verraten, ob Multiplikation oder Verknüpfung der Funktionen gemeint ist?

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Die verknüpfung ist damit gemeint. Sry :)

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ok. Dann musst du die Kettenregel mehr als einmal benutzen.

Im 2. Schritt dann auch noch die Produktregel.

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wie soll das denn gehenn??

Habe das ma ausprobiert.. Wie leite ich denn h oder f oder g ab .. ?? Kannse mir vielleicht ein ansatz zeigen oder geben?

Answer 1

also h( f(g(x)) gibt Ableitung
h ' ( f(g(x)) * Abl. von f(g(x))   wegen Kettenregel
= h ' ( f(g(x)) *  f ' (g(x)) * g'(x)   nochmal Kettenregel für die  Abl. von f(g(x)) 

Jetzt 2. Abl.  gibt   mit u= h ' ( f(g(x)) und v = f ' (g(x)) * g'(x) 
                                     u' = h ' ' ( f(g(x)) * f ' (g(x) ) * g ' (x)  (wie oben)
                                     v ' =   g ' (x) * Abl von f ' ( g(x) )  +  f ' (g(x) ) * g ' ' (x)   wegen Produktregel
                                          = g ' (x) * f ' ' (g(x) ) * g ' (x) +    f ' (g(x) ) * g ' ' (x)
also insgesamt wegen u*v ' + v * u '

2. Abl:
  h ' ( f(g(x)) * (   g ' (x) * f ' ' (g(x) ) * g ' (x) +    f ' (g(x) ) * g ' ' (x)   )   +  f ' (g(x)) * g'(x)  * h ' ' ( f(g(x)) * f ' (g(x) ) * g ' (x) 

=   h ' ( f(g(x))  * f ' ' (g(x) ) * (g ' (x))^2  +  h ' ( f(g(x)) *   f ' (g(x) ) * g ' ' (x)   ) 
                +  f ' (g(x)) * g'(x))^2  * h ' ' ( f(g(x)) * g ' (x) 

Answer 2

Vorschlag zur 1. Ableitung:

$$( h•(f•g))'=h'(f•g)\cdot (f•g)' = h'(f(g))\cdot f'(g) \cdot g'(x) $$