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Seien (G, ∗) und (H, ⋄) Gruppen. Wir definieren auf der Menge G× H eine Verknüpfung • durch
(g1, h1) • (g2, h2) = (g1 ∗ g2, h1 ⋄ h2).

(a) Zeigen Sie, dass (G × H, •) eine Gruppe ist.
(b) Zeigen Sie, dass die Gruppe Z3 × Z4 zyklisch ist.
(c) Zeigen Sie, dass die Gruppe Z4 × Z6 nicht zyklisch ist.

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(a)

Hier muss man einfach nur die Gruppenaxiome nachrechnen.

Assoziativität:

[spoiler]

Für \(g_1, g_2, g_3\in G\) und \(h_1, h_2, h_3\in H\) ist \[ \left((g_1, h_1)\bullet(g_2, h_2)\right)\bullet(g_3, h_3) =  (g_1 * g_2, h_1 \diamond h_2)\bullet(g_3, h_3) = (\left(g_1 * g_2\right) * g_3, \left(h_1 \diamond h_2\right)\diamond h_3) = (g_1 * \left(g_2 * g_3\right), h_1 \diamond \left(h_2\diamond h_3\right))= (g_1, h_1)\bullet(g_2 * g_3, h_2\diamond h_3) = (g_1, h_1)\bullet\left((g_2, h_2)\bullet(g_3, h_3)\right)\text{.}\]

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Neutrales Element:

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Mit den neutralen Elementen \(e_G\in G\) und \(e_H \in H\) erhält man \[(e_G, e_H)\bullet(g, h) = (e_G * g, e_H\diamond h) = (g, h)\] und \[(g, h) \bullet (e_G, e_H) = (g * e_G * g, h\diamond e_H) = (g, h)\] für alle \(g\in G\) und alle \(h\in H\). Damit ist \((e_G, e_H)\) neutrales Element bzgl. \(\bullet\).

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Inverse Elemente:

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Seien \(g\in G\) und \(h\in H\) beliebig. Dann gibt es entsprechende Inverse Elemente \(g^{-1}\in G\) und \(h^{-1}\in H\) und es ist \[(g, h)\bullet(g^{-1}, h^{-1}) = (g * g^{-1}, h \diamond h^{-1}) = (e_G, e_H)\] und \[(g^{-1}, h^{-1})\bullet(g, h) = (g^{-1} * g, h^{-1} \diamond h) = (e_G, e_H)\text{.}\] Damit ist dann \((g^{-1}, h^{-1})\in G\times H\) das inverse Element zu \((g, h)\in G\times H\).

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(b)

Man findet den Erzeuger \(([1]_3, [1]_4)\in\mathbb{Z}_3\times\mathbb{Z}_4\).

\(0\cdot ([1]_{3}, [1]_{4}) = ([0]_3, [0]_4)\)

\(1\cdot ([1]_{3}, [1]_{4}) = ([1]_3, [1]_4)\)

\(2\cdot ([1]_{3}, [1]_{4}) = ([2]_3, [2]_4)\)

\(3\cdot ([1]_{3}, [1]_{4}) = ([3]_3, [3]_4)=([0]_3, [3]_4) \)

\(4\cdot ([1]_{3}, [1]_{4}) = ([4]_3, [4]_4)=([1]_3, [0]_4) \)

\(5\cdot ([1]_{3}, [1]_{4}) = ([5]_3, [5]_4)=([2]_3, [1]_4) \)

\(6\cdot ([1]_{3}, [1]_{4}) = ([6]_3, [6]_4)=([0]_3, [2]_4) \)

\(7\cdot ([1]_{3}, [1]_{4}) = ([7]_3, [7]_4)=([1]_3, [3]_4) \)

\(8\cdot ([1]_{3}, [1]_{4}) = ([8]_3, [8]_4)=([2]_3, [0]_4) \)

\(9\cdot ([1]_{3}, [1]_{4}) = ([9]_3, [9]_4)=([0]_3, [1]_4) \)

\(10\cdot ([1]_{3}, [1]_{4}) = ([10]_3, [10]_4)=([1]_3, [2]_4) \)

\(11\cdot ([1]_{3}, [1]_{4}) = ([11]_3, [11]_4)=([2]_3, [3]_4) \)

Wegen \(\mathbb{Z}_3\times\mathbb{Z}_4=\langle([1]_{3}, [1]_{4})\rangle\) ist \(\mathbb{Z}_3\times\mathbb{Z}_4\) zyklisch.

(c)

Die Mächtigkeit der Menge \(\mathbb{Z}_4\times\mathbb{Z}_6\) ist \[\lvert\mathbb{Z}_4\times\mathbb{Z}_6\rvert=\lvert\mathbb{Z}_4\rvert\times\lvert\mathbb{Z}_6\rvert = 4 \cdot 6 = 24\text{.}\]

Wenn die Gruppe \(\mathbb{Z}_4\times\mathbb{Z}_6\) zyklisch wäre, müsste es ein Element der Ordnung 24 geben. Jedoch ist \[12\cdot([a]_{4}, [b]_6) = ([12a]_{4}, [12b]_6) = ([0]_{4}, [0]_6) \] für alle \(([a]_{4}, [b]_{6})\in\mathbb{Z}_4\times\mathbb{Z}_6\), so dass jedes Element in \(\mathbb{Z}_4\times\mathbb{Z}_6\) höchstens Ordnung 12 hat.

Demnach ist die Gruppe \(\mathbb{Z}_4\times\mathbb{Z}_6\) nicht zyklisch.

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