Vollständige Induktion. Potenzen der Matrix ((-1,4),(-0.5,2))

Question

ich soll für die Matrix
(-1     4)^n
(-0,5  2)
für jede natürliche Zahl n>=1 eine Formel in möglichst einfacher Form angeben und dabei die vollständige Induktion verwenden.

Ich hab erstmal für n ein paar Werte eingesetzt:

n=2: (-1     4)^2    =    (1   4)
        (-0,5  2)            (0   4)

n=3: (-1     4)^3    =    (-1   12)
        (-0,5  2)            (0      8)

n=4: (-1     4)^4    =    (1   20)
        (-0,5  2)            (0   32)

usw.

Kann mir jemand bei der Vollständigen Induktion helfen?

Comments

Deine Matrizenpotenzen stimmen nicht.

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Kontrolliere deine Ergebnisse z.B. mit

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28%28-1++%2C+++4%29%2C%28-0.5%2C++2%29+%29%5E5

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Die Matrix ist identisch mit jeder ihrer \(n\)-ten Potenz.

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Es dürfte genügen, wenn er sein allererstes Ergebnis richtig rechnet...

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Wie sieht denn der Induktionsschritt bei dieser Aufgabe aus??

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\(M^{n+1}=M\cdot M^n=M\cdot M=M.\)

Answer 1

Matrizenmultiplikation für Anfänger:

$$ \begin{pmatrix}  -1 & 4 \\ -\frac 12 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}  -1 & 4 \\ -\frac 12 & 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}  (-1) (-1)+4 \cdot (-\frac 12) & (-1)\cdot 4+4 \cdot 2 \\(-\frac 12) (-1)+2 \cdot (-\frac 12) & (-\frac 12) \cdot 4 +2 \cdot 2 \end{pmatrix} $$