Lineare Differentialgleichungen / Variation der Konstanten

Question

Aufgabe:

a) Welche der folgenden Differentialgleichungen sind linear oder lassen sich elementar in eine solche umformen? Geben Sie eine kurze Begründung.

i) \( x^{\prime}+x e^{t}-e^{-t}=0 \)

ii) \( x^{\prime}+\frac{1}{x}=t \)

iii) \( \frac{x^{\prime}}{x}=\frac{1}{t} \)

iv) \( x^{\prime}=t x^{2}+t \)

b) Benutzen Sie soweit wie möglich die Methode „Variation der Konstanten", um die Differentialgleichung

\( x^{\prime}=t x^{2}+t \)

zu lösen. Warum müssen Sie Ihre Rechnung abbrechen?

Wie kann man die gesuchte Lösung stattdessen berechnen?

Answer 1

Hi, kennst Du die Kriterien für eine lineare bzw. nichtlineare Dgl. Wenn ja, schreib die doch mal hin, dann sieht man weiter.

(ii) kann man mittels Trennung der Variablen lösen.

$$ x'(t) = t x^2(t) + t = t \left[ x^2(t) + 1 \right]  $$ also
$$ \frac{dx}{x^2(t) +1 } = t dt  $$
Jetzt kannst Du weiter machen. Stammfunktion von \( \frac{dx}{x^2(t) +1 } \) finden. Die rechte Seite ergibt nach Integration \( \frac{t^2}{2} + C  \)