Zeigen, dass es sich um eine symmetrische Matrix handelt

Question

Sei A∈ℝ^mxn

Es ist B := A (A^T A)^-1 A^T

nun soll gezeigt werden dass B symmetrisch ist: Also dass B = B^T ist.

B = A (A^T A)^-1 A^T

<=> A (A^-1 (A^T)^-1) A^T

Aber wenn ich B transponiere komme ich nicht auf B.

Wie sieht die korrekte Umformung aus um zu zeigen dass B = B^T ist?

Answer 1

Hi,
$$\left[ A(A^TA)^{-1}A^T \right]^T = A [ (A^TA)^{-1} ]^T A^T = A [ (A^TA)^T ]^{-1} A^T=A(A^TA)^{-1}A^T$$ also ist $\left[ A(A^TA)^{-1}A^T \right]^T$ symmetrisch.

Zu beachten ist, das nicht ausgenutzt werden darf, das $A$ invertierbar ist, da $A \in \mathbb{R}^{m \times n }$ und damit nicht quadratisch ist.

Answer 2

Gibt es noch eine zusätzliche Voraussetzung für $A$? Denn $A^T\cdot A$ ist im Allgemeinen nicht invertierbar; für beliebige $A$ ist die Aussage also falsch.

$B=A\cdot (A^{-1}\cdot (A^T)^{-1})\cdot A^T$ stimmt nicht. Beachte, dass $A$ nicht quadratisch sein muss.

Transponiere einfach $B$:
$B^T=(A\cdot (A^T\cdot A)^{-1}\cdot A^T)^T=(A^T)^T\cdot ((A^T\cdot A)^{-1})^T\cdot A^T=...$

Comments

Ich denke in der Aufgabenstellung wird implizit davon ausgegangen das $A^T A$ invertierbar ist, da der Term $(A^T A)^{-1}$  aufgeführt wird.