Richtigkeit überprüfen von 2 Beweisen

Question

\( (A \cap B) \cup(A \cap C)=A \cap(B \cup C) \)

1. \( (A \cap B) \cup(A \cap C) \stackrel{\text { <umschreiben }}{=}(A \wedge B) \vee(A \wedge C) \stackrel{\text { Distributiv }}{=} A \wedge(B \vee C) \stackrel{\text { umformen }}{=} A \cap(B \cup C) \)

\( (A \cap B) \cup(A \cap C)=A \cap(B \cup C) \)
2. Sei \( x \in(A \cap B) \cup(A \cap C) \)
\( \Rightarrow \) dann ist \( x \in A \) und \( x \in B \) oder \( x \in A \) und \( x \in C \)
1 . Fall
Falls \( x \in A \) und \( B \), dann gitt \( x \in A \) und \( x \in(B \cup C) \) also eine teilmenge
dann ist \( x \in A \cap(B \cup C) \)
2. Fall \( x \in A \cap(B \cup C) \)
\( \Rightarrow \) dann ist \( x \in A \) und \( x \in B \) def \( x \in C \)
Fals \( x \in A \), dang git \( \Rightarrow x \in(A \cap B)_{\text {und }}(A \cap C) \)
Falls \( x \in B_{1} \) dann gilt \( \Rightarrow x \in(A \cap B) \) also eine Teilmenge.
Falls \( x \in C \), dann gilt =x \in(A \cap C) \) also auch eine Teilinerge.
damit gitt \( x \in A \cap(B \cup C) \)


Sind die zwei Beweise so richtig ?

Comments

Nein

Der 2. Versuch ist besser, allerdings unvollständig und fehlerhaft. Versuche ihn sauber und korrekt aufzuschreiben. Was sollen ‚def‘ und ‚B₁‘ sein?

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Ok und beim ersten was ist da falsch ?

Beim def sollte eigentlich ein oder stehen und die 1 ist da falsch die sollte dort nicht hin

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Du fängst an mit Mengen und nach dem ersten Gleichheitszeichen sind es auf einmal Aussagen?

Answer 1

Die zweite Variante ist wesentlich besser, aber unvollständig.

Für die Richtung \(\Rightarrow\):

Dein 1. Fall ist \(x\in A\cap B\). Wo ist der Fall \(x\in A\cap C\)? Das müsste dein 2. Fall sein.

Dein 2. Fall ist dann nicht \(x\in A\cap (B\cup C)\), denn dann ist bereits die Rückrichtung \(\Leftarrow\). Und da geht auch etwas schief. Wenn \(x\in A\cap (B\cup C)\) gilt, ist schon klar, dass \(x\in A\) sein muss. Da macht ein zusätzliches "falls \(x\in A\)" wenig Sinn. Geh diese Richtung nochmal in Ruhe durch.