Der Punkt \(A\), der Mittelpunkt von \(\overline{AB}\) und der Mittelpunkt des gesuchten Kreises \(M\) bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Die Hypotenuse dieses Dreiecks hat die Länge \(R+r\), wobei \(R=\frac{a}{2}\) der Radius des Kreises um \(A\) und \(r\) der gesuchte Radius des Kreises um \(M\) ist. Es ist \(a\) die Seitenlänge des Quadrats. Die Länge der Hypotenuse ist damit aufgrund der Tangentialeigenschaft der beiden Kreise klar. Die Katheten dieses Dreiecks haben nun die Seiten \(\frac{a}{2}\) und \(a-r\). Nach Pythagoras gilt:
\(\begin{aligned}\left(\frac{a}{2}\right)^2+(a-r)^2&=\left(\frac{a}{2}+r\right)^2\\\frac{a^2}{4}+a^2-2ar+r^2&=\frac{a^2}{4}+ar+r^2\\a^2&=3ar\\r&=\frac{1}{3}a\end{aligned}\)
