Integrieren. Problem mit Bogenlänge von f(x) = 1/4·x^2 - LN(√x)

Question

Berechne die Länge des Graphen von...

$$f(x)= \frac {1}{4}x^2-ln(\sqrt{x})$$

...über dem Intervall [4,9].

Hörte sich für mich nach Bogenlänge an, also:

$$f'(x) = \frac {1}{2}x-\frac {1}{2x}$$

$$\int_4^9 \sqrt {1+ (\frac {1}{2}-\frac {1}{2x})^2}dx$$

Wie ich das jetzt aber integrieren soll, ist mir schleierhaft, besonders wegen der Wurzel

Answer 1

f(x) = 1/4·x^2 - LN(√x)

f'(x) = x/2 - 1/(2·x)

∫ √(1 + (f'(x))^2) dx = ∫ √(1 + (x/2 - 1/(2·x))^2) dx = ∫ (x^2 + 1)/(2·x) dx = LN(x)/2 + x^2/4

Jetzt kann man das Integral leicht bestimmen.

Comments

Ich bin jetzt nach ewigem Rechnen auch auf das gekommen. Also, erstmal Aber: Hast Du das irgendwie direkt gesehen oder hast Du auch ewig rechnen müssen? Musste zwei/drei Mal substistutionieren.

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Wobei ich gerade feststelle, dass bei Dir noch ein Summan 1/4 fehlt.

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Also da fehlt kein Summand, zumindest nicht in der endgültigen Lösung.

Ob man sowas sieht? Also ich kann nur sagen, dass man an der Stelle $$\int \sqrt{1+ \left( \frac{x}{2}-\frac{1}{2x} \right)^2}dx$$ eigentlich zuerst einmal ausmultipliziert, alles auf denselben Nenner bringt und schaut, was rauskommt. Dass sich später bei $$ \int \sqrt{ \frac{x^4+2x^2+1}{4x^2}}dx$$ eine binomische Formel im Zähler befindet, sieht man eigentlich auch. 

Also klar, ich kenne das selbst, dass ich früher dachte, dass man sowas alles doch nicht "sehen" kann. Wenn man sich allerdings die Schritte gut anguckt und noch ein paar ähnliche Aufgaben löst, wird sich das "sehen" von ganz alleine einstellen. :P Dann entwickelt sich auch ein Gefühl dafür, welcher Ansatz wohl der vielversprechendste beim Lösen von Integralen ist.

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Summanden in der Stammfunktion schreib ich nicht mit hin. Auch das + C habe ich hier einfach mal weggelassen. Das schreibe ich persönlich meist nur hin wenn explizit nach der Menge aller Stammfunktionen gefragt ist. Aber ich weiß, dass man das meist dazu schreiben sollte. 

Ich musste auch ein wenig rechnen. Zunächst natürlich zusammenfassen. 

Aber nachher kann man den Bruch aufteilen

(x² + 1)/(2·x) = x/2 + 1/(2·x)

Und hier sieht man eigentlich jeweils die Stammfunktionen sofort.

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Alles klar. Für die Berechnung des bestimmten Integrals muss ich den Viertel natürlich berücksichtigen.
Besten Dank euch beiden für die Hilfe!