Komplexe Zahlen: Weisen Sie durch elementares Nachrechnen und äquivalentes Umformen von Ungleichungen

Question

Aufgabe:

Weisen Sie die folgenden Beobachtungen durch elementares Nachrechnen und äquivalentes Umformen von Ungleichungen nach:

a) Für alle \( 0 \neq z \in \mathbb{C} \) ist \( z \cdot \overline{-z} \) eine negative reelle Zahl.

b) Für beliebige \( w, z \in \mathbb{C} \) gilt die Dreiecksungleichung \( |w+z| \leq|w|+|z| \) Hinweis: Mehrfaches Quadrieren kann hilfreich sein.

c) Zeigen Sie, dass in der Dreiecksungleichung Gleichheit entsteht, wenn \( z=r \cdot w \) für ein \( r \) aus \( \mathbb{R}^{+} \)

Und was bedeutet genau die Dreiecksungleichung bei c)?

Answer 1

Hi

a) z₁ = a + bi;  z₂ = a-bi; //z₂ ist die konjugiert komplexe Zahl zu z₁.
z₁ * (-z₂ ) = (a + bi) * (-a+bi) = -a^2 -abi +abi -b^2 = -a^2 -b^2 = -(a^2 + b^2);
da a^2 und b^2 immer positiv sind muss folglich -(a^2 + b^2) < 0 sein.

c) |w + z| ≤ |w| + |z|; mit z = r*w;
|w + r*w| ≤ |w| + |r*w|;
|w * (1+r)| ≤ |w| + r* |w|; // r > 0, (r+1) > 0 siehe Aufgabenstellung
|w| * (1+r) ≤ |w| * (1+r);
|w| = |w|;

Die b) schreib ich nicht auf, die steht fertig gelöst auf Wikipedia. Du kannst aber gerne konkrete Fragen zur Vorgehensweise stellen.

lg JR