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Hallo,

es geht um komplexe zahlen. Erstmal die Definitionen

lambda = (a,b) = a + bi

_lambda := a - bi

lambda * _lambda = (a+bi) (a-bi) = a^2 + b^2

Absolutbetrag |lambda| := sqrt(lambda * _lambda) = sqrt (a^2 + b^2)

Jetzt zu der Aufgabe. lambda und u sind elemente der komplexen Zahlen. Es geht |lambda + u | ≤ |lambda| + |u|. Wie zeige ich diese Dreickecksungleichung bei komplexen Zahlen?

Nach Definitionen wurde ich schreiben |lambda| + |u| = sqrt(lambda * _lambda) + sqrt(u * _u) = sqrt(a^2 + b^2) + sqrt(c^2 + d^2).

Ich habe es analog fuer |lambda + u| versucht und bekomme am Ende sqrt( (a+c)^2 + (b+d)^2) raus. Weiss nicht ob das stimmt, wenn ja wie zeige ich jetzt die Dreiecksungleichung? Danke im Voraus
von
ich habe umgeformt und muss nur noch zeigen, dass

ac + bd ≤ a^2 c^2 + a^2 d^2 + b^2 c^2+b^2 d^2

jemand eine idee? es geht um reelle zahlen

3 Antworten

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$$\left| \lambda +\mu  \right| \le \left| \lambda  \right| +\left| \mu  \right|$$$$\Leftrightarrow \left| a+ib+c+id \right| \le \left| a+ib \right| +\left| c+id \right|$$$$\Leftrightarrow \left| a+c+i(b+d) \right| \le \left| a+ib \right| +\left| c+id \right|$$$$\Leftrightarrow \sqrt { { \left( a+c \right)  }^{ 2 }+{ \left( b+d \right)  }^{ 2 } } \le \sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } +\sqrt { c^{ 2 }+{ d }^{ 2 } }$$Soweit warst du ja schon. Nun quadrieren: $$\Leftrightarrow { \left( a+c \right)  }^{ 2 }+{ \left( b+d \right)  }^{ 2 }\le { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }+2\sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } \sqrt { c^{ 2 }+{ d }^{ 2 } } +c^{ 2 }+{ d }^{ 2 }$$$$\Leftrightarrow { a }^{ 2 }+2ac+{ c }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }+2bd+{ d }^{ 2 }\le { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }+{ c }^{ 2 }+{ d }^{ 2 }+2\sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } \sqrt { c^{ 2 }+{ d }^{ 2 } }$$$$\Leftrightarrow 2ac+2bd\le 2\sqrt { { (a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 })(c^{ 2 }+{ d }^{ 2 }) }$$$$\Leftrightarrow ac+bd\le \sqrt { { (a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 })(c^{ 2 }+{ d }^{ 2 }) }$$Noch einmal quadrieren:$$\Leftrightarrow { \left( ac+bd \right)  }^{ 2 }\le { (a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 })(c^{ 2 }+{ d }^{ 2 })$$$$\Leftrightarrow { a }^{ 2 }{ c }^{ 2 }+2abcd+{ b }^{ 2 }d^{ 2 }\le { a }^{ 2 }{ c }^{ 2 }+{ a }^{ 2 }{ d }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }{ c }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }d^{ 2 }$$$$\Leftrightarrow 2abcd\le { a }^{ 2 }{ d }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }{ c }^{ 2 }$$$$\Leftrightarrow 0\le { (a }d)^{ 2 }-2abcd+{ (bc) }^{ 2 }$$$$\Leftrightarrow 0\le { (a }d)^{ 2 }-2(ad)(bc)+{ (bc) }^{ 2 }$$$$\Leftrightarrow 0\le { (a }d-bc)^{ 2 }$$Das ist eine immer wahre Aussage, da jede Quadratzahl größer gleich Null ist.
von 32 k  –  ❤ Bedanken per Paypal
Schöne Umformung! Eine Frage hätte ich noch: Woher weisst du vor dem erneuten Quadrieren, dass
ac + bd > 0 ist?

Woher weisst du...

Hmmm, das weiß ich leider gar nicht - und damit gilt mein "Beweis" leider nur für den Fall

ac + bd ≥ 0

was natürlich unbefriedigend ist. :-(

Seit ich diese Frage beantwortet habe, ging sie mir nicht mehr aus dem Kopf. Irgendwie war mir wohl "intuitiv" klar, dass da noch ein Haken sein musste  - jetzt weiß ich warum ... 

Hast du eine Lösung für den anderen Fall, also für a c + bd < 0 ?

Ich hab leider keinen besseren Beweis und überlege gerade, was tatmas da gemacht hat. Der erste Schritt sieht wie eine Division durch den Betrag von lambda aus.
Geometrische Lösung für \( \sqrt { { \left( a+c \right)  }^{ 2 }+{ \left( b+d \right)  }^{ 2 } } \le \sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } +\sqrt { c^{ 2 }+{ d }^{ 2 } } \)

In der Ebene definieren wir zwei Punkte A = (a,b) und B = (-c,-d). Sei O = (0,0).

Linke seite ist die Strecke AB.

Rechte Seite ist die Summe der Strecken AO + BO. Aus der Dreiecksungleichung fogt die Ungleichung.
@jc22: Aus welcher Dreiecksungleichungen soll das folgen? Dafür brauchst du doch die Dreicksungleichung in der Ebene, also die für komplexe Zahlen. Das sieht mir stark nach Zirkelschluß aus.
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Für lambda=0 ist die Dreicksungleichung offensichtlich richtig. Damit können wir o.E. durch lambda teilen und müssen so nur noch die einfachere Aussage $$|1+z|\leq 1+ |z|$$ zeigen. (z=x+iy) Die Auusage wiederrum ist gleichwertig zu $$(|1+z|)^2 \leq (1+|z|)^2$$. Es gilt: $$|1+z|^2 -=(1+z)(1+\bar{z})=1+z\bar{z}+(z+\bar{z})=1+|z|^2+2Re(z)$$. Damit ist $$ |1+z|^2-(1+|z|)^2=1+2|z|+|z|^2-1-|z|^2-2Re(z)=2(|z|-Re(z))\geq 0 $$, denn es gilt $$|Re(z)| \leq |z|$$.
von 1,1 k
Das verstehe ich leider nicht.
Mir ist die erste Umformung nicht ganz klar. Teilst du da durch lambda oder durch den Betrag von lambda?
@Lu: So wie's da steht. y:=u/lambda @jc22: Wolltest du nur das mitteilen oder hast du auch eine Frage?
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Hallo,

die Ungleichung gilt offensichtlich für \(\lambda+\mu=0\). Sonst ist$$1=\frac{\lambda+\mu}{\lambda+\mu}=\frac\lambda{\lambda+\mu}+\frac\mu{\lambda+\mu}=\operatorname{Re}\left(\frac\lambda{\lambda+\mu}\right)+\operatorname{Re}\left(\frac\mu{\lambda+\mu}\right).$$(Die Imaginärteile addieren sich zu Null.) Es folgt$$1\leq\left|\frac\lambda{\lambda+\mu}\right|+\left|\frac\mu{\lambda+\mu}\right|\Rightarrow|\lambda+\mu|\leq|\lambda|+|\mu|.$$
von

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