Quadratische Pyramide wird in halber Höhe abgeschnitten. Verhältnis neue Pyramidenvolumen zum alten Volumen?

Question

Eine quadratische Pyramide wird in halber Höhe parallel zur Grundfläche abgeschnitten. Oben entsteht eine neue Pyramide, unten ein Pyramidenstumpf.

(1) In welchem Verhältnis steht das neue Pyramidenvolumen zum alten Volumen?

(2) Wie entwickelt sich das Pyramidenvolumen des Pyramidenstumpfes, wenn man die Höhe weiter halbiert? Entwickel eine passende Formel.

(3) Was passiert beim Dritteln bzw. Vierteln der Pyramidenhöhen des Pyramidenstumpfes?

Answer 1

V1 = (1/3)*a^2 *h
Beim halbieren der Höhe entsteht oben eine Pyramit mit
V2 = (1/3)*(a/2)^2 *(h/2)  =  (1/8)*V1

also Verhältnis V2 : V1 = 1:8
b) Pyramidenstumpf hat also
V=(7/8)*V1
für jede Halbierung kommt ein Faktor (7/8) hinzu und die
Stümpfe werden alle addiert, also Formel nach n Halbierungen
(7/8)*V1 + (7/8)^2*V1 + (7/8)^3*V1  + (7/8)^4*V1 + .... + + (7/8)^n*V1
= ( (7/8) + (7/8)^2 + (7/8)^3  + (7/8)^4 + .... + + (7/8)^n )    *V1
und in der Klammer ist eine geometrische Reihe mit q=7/8
also Summe gleich (     (7/8)^n+1  -  1  )  /    ( (7/8)  -  1 )
=    (7/8)^n+1  -  1  )  /   (-1/8)
= 8*    (1  -   7/8)^n+1   ) 

3) beim Dritteln ist es so ähnlich
V1 = (1/3)*a² *h
Beim halbieren der Höhe entsteht oben eine Pyramit mit
V2 = (1/3)*(a/3)² *(h/3)  =  (1/27)*V1     etc.