Geometrie: Punktmengen beschreiben einen Kreis

Question

zu (a) habe ich, dass AB den Durchmesser des Kreises beschreibt, man kann nämlich die Umkehrung vom Satz des Thales benutzen und die Punktemenge liegt auf dem Kreisbogen.  Das habe ich durch Geogebra sehen können, aber das ist doch kein Beweis, oder?

zu (b) müsste ich noch überlegen.

Man kann die Aufgabe vielleicht auch analytisch lösen.

Dankee für jeden Tipp!

Comments

Ist der Satz des Thales nicht sowieso so formuliert, dass er in beide Richtungen gilt?

Wie genau ist er formuliert?

In einigen Zusammenhängen werden Konstruktionen, die sehr viele Punkte umfassen, schon als Beweis akzeptiert. Da sollte aber im Unterricht mal was dazu gesagt worden sein.

Ansonsten kannst du ja vielleicht mit dem Pythagoras und/oder Richtungsvektoren der Geraden nachrechnen.

---

(a) habe ich, dass AB den Durchmesser des Kreises beschreibt, man kann nämlich die Umkehrung vom Satz des Thales benutzen und die Punktemenge liegt auf dem Kreisbogen.  Das habe ich durch Geogebra sehen können, aber das ist doch kein Beweis, oder? 

Doch. Das ist ein Beweis.

Answer 1

Zu Aufgabe (a).

Ohne Einschränkung der Allgemeinheit lege ich die Punkte A und B auf die y-Achse.

Sei A(0,r) und B(0,-r), wobei r = |AB|/2

Nun gilt

g_A : y = r + mx       (I)

wird geschnitten mit

g_B : y = -r - (1/m)*x

g_A  n g_B 

r + mx = -r - 1/m *x

2r = (- m - 1/m)x = ((-m^2 - 1)/m) *x

-2rm/(m^2 + 1) = x

Einsetzen in (I)

y = r  - 2rm^2/(m^2 + 1) = (rm^2 + r - 2rm^2)/(m^2 + 1)

y = ( r - rm^2)/(m^2 + 1) 

Nun müsste gelten x^2 + y^2 = r^2

x^2 + y^2 = (-2rm/(m^2 + 1))^2 + ( ( r - rm^2)/(m^2 + 1))^2 

x^2 + y^2 =r^2 ( (2m)^2 + ( ( 1 - m^2)^2)/(m^2 + 1)^2 

x^2 + y^2 =r^2 ( (4m^2 + 1 - 2m^2 + m^4) )/(m^2 + 1)^2 

x^2 + y^2 =r^2 ( 1 + 2m^2 + m^4) )/(m^4 + 2m^2 + 1)

x^2 + y^2 =r^2

q.e.d. (a)

Anmerkung: Vermutlich geht's auch einfacher, wenn du den Satz des Thales anwenden darfst.

Sekantensatz bei (b) brauchbar? https://de.wikipedia.org/wiki/Sekantensatz oder vielleicht Peripheriewinkelsatz?

Comments

den Satz von Thales dürfen wir anwenden.

Peripheriewinkelsatz haben wir behandelt gehabt, Sekantensatz haben wir erst diese Woche besprochen gehabt.

Ganz vieelen Dank! für (a). Analytische Beweise fallen mir schwerer als elementargeometrische, da wir immer elementargeometrisch beweisen statt rechnerisch... Aber es ist sehr schön, einen analytischen Beweis zu sehen... (wir dürfen analytisch beweisen, nur haben nicht so oft geübt)

ich versuch mir bei (b) etwas zusammen zu reimen.

Danke nochmals für die Hinweise.