hesse matrix extrema bestimmen?

Question

Ich bin hier an drei Aufgaben wovon ich zwei bereits gelöst zu haben glaube.
Bei der dritten komme ich allerdings nicht weiter und brauche Hilfe.

(1) Gegeben sei die Funktion f (x, y ) = 2x² − 3xy + 2y² .

(a) Man berechne die kritischen Punkte sowie die Hesse-Matrix.

-Hier habe ich folgendes durch partielles Ableiten herausbekommen:

(b) Man entscheide für jeden kritischen Punkt, ob eine Minimalstelle, Maximalstelle oder ein Sattelpunkt vorliegt.

-Hier habe ich die Hesse-Matrix minus die Einheitsmatrix mit Skalar berechnet und kam auf das  charakteristische Polynom:

2λ²-16λ=0

-Deshalb Null-gesetzt, damit ich die Nullstellen herausbekomme die bei
 0 und 8 sind.

-Ich hoffe bis hier her habe ich richtig gerechnet! (Falls nicht, verbessert mich bitte!)

-Weiterhin habe ich die Determinante D berechnet und 32 herausbekommen.
 ****Ab hier weiß ich nicht weiter.****

(c) Welche Punkte kommen als Extremstellen der Funktion f unter der folgenden Nebenbedingung infrage

g(x, y ) = x² + y² = 1?

Answer 1

erst mal diekritischen Punkte, das sind, wo der Gradient 0 ist.

hier nur der Punkt (0/0).

Die Hesse-Matrix hast du ja, in diesem Fall

hängt sie gar nicht von den koordinaten des Punktes ab,

sondern hat immer die Determinante 33 ( du hattest 32  ?  )

aber es ist doch 24+9=33.

Jedenfalls positiv, und das obere linke Element der Matrix ist

die 4 also auch positiv, deshalb ist die Matrix positiv definit,

also an der Stelle (0/0) ein Minimum.

Comments

Wir dürften uns beide bei der Determinante geirrt haben. Diese ist nämlich 7. (4*4)-((-3)*(-3))?Wie kommt man auf die extrema?

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Oha, da hast du recht.

Jedenfalls det>0 und  das Element oben links ist auch positiv.

deshalb ist die Hesse-Matrix bei Punkt (0/0) positiv definit.

Und wenn die an einem krit. Punkt pos. definit ist,

dann ist dort ein Minimum.

siehe auch

http://www.math.tu-dresden.de/~herrich/ws14_15_mw3/Extrempunkte.pdf