Also in dem Link steht doch folgendes. Die Dgl.
\( \dot x(t) = f(t,x(t)) \) mit \( x(t_0) = x_0 \) wird durch das Eulerverfahren wie folgt gelöst
\( x_{k+1} = x_k + h f(t_k,x_k) \) wobei \( t_k = t_0 + kh \) gilt.
In Deinem Fall ist \( t_0 = 0 \), \( h = 1 \), \( x_0 = 1 \) und \( f(t,x) = t + x \)
Die Lösung der Dgl. ist \( x(t) = 2 e^t - t - 1 \) wie man durch nachrechnen bestätigen kann
Die ersten Werte für \( x_k \) sind die folgenden. \( x = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \\ 12 \\ 27 \\ 58 \end{pmatrix} \)
Der Vergleich mit der tatsächlichen Lösung sieht so aus
Wie man sieht, gibt es erhebliche Abweichungen zwischen der numerischen und der exakten Lösung. Diese Abweichung kann man durch Reduktion der Schrittweite \( h \) vermindern.
Und so sieht die numerische Lösung mit einer Schrittweite von \( h = 0.1 \) aus.
