Interpretation von Rechenschritten bei Ungleichung: |x|^{n+1} / (|1-x|) ≤ 10^-3

Question

Es ergibt sich |x|^{n+1}  / (|1-x|) ≤ 10^-3 

= |x|^{n+1} ≤ 10^-3 * (|1-x|)                           Zeile 1

= (n+1) * ln |x| ≤ ln(10^-3 * |1-x|)                   Zeile 2 : Wie komme ich von Zeile 1 auf Zeile 2 ? 

= n+1 ≥ ln(10^-3 |1-x|) / ln(|x|)                        

Zeile 3: Wieso dreht sich das Zeichen von "≤" aus Zeile 2 zu "≥" in                                                                                      Zeile 3 um ? 

= n ≥(( ln(10^-3) + ln(|1-x|) ) / ln(|x|)  ) -1

Wenn x = 0,9 , dann folgt n ≥ (ln(10^-4) / ln(0.9) ) -1 = 86.4 ...         

Letzte Zeile : Wie ergibt sich im Zähler ln(10^-4) ???                ,denn    ln(10^-3) + ln(|1-0.9|) sollte doch etwas anderes ergeben ? 

Answer 1

1. Frage Wie komme ich von Zeile 1 auf Zeile 2 ? 

Man nimmt links und rechts den Logarithmus und benutzt das Logarithmengesetz

ln( 5^7) = 7*ln(5)

Achtung: Das "Gleich" zu Zeilenbeginn müsste ein "äquivalent" <==>  sein. 

2. Frage Zeile 3: Wieso dreht sich das Zeichen von "≤" aus Zeile 2 zu "≥" in                                                                                      Zeile 3 um ? 

Wenn du Grund zur Annahme, dass |x| < 1 ist, ist ln(|x|) < 0. Bei einer Division durch eine negative Zahl müssen Ungleichheitszeichen umgedreht werden.
3. Frage n ≥(( ln(10^-3) + ln(|1-x|) ) / ln(|x|)  ) -1    | x =0.9 ?

Einsetzen und sorgfältig mit Logarithmengesetzen arbeiten. Du darfst aber vermutlich auch abschätzen mit einer Aufrundung.

 n ≥(( ln(10^-3) + ln(|0,1|) ) / ln(|9*0.1|)  ) -1

 n ≥(( ln(10^-3) + ln(10^{-1}) ) / ln(9*0.1)  ) -1

n ≥(( -3* ln(10) -1* ln(10) ) / ln(9*0.1)  ) -1

n ≥(( -4* ln(10) ) / ln(9*0.1)  ) -1

n ≥(( ln(10^{-4}) ) / ln(0.9)  ) -1

Frag aber besser bei dem nach der dir die Antwort so hingeschrieben hat, und die genaue Fragestellung kennt. 

 

Comments

Logarithmengesetze: Vgl. https://www.matheretter.de/wiki/logarithmus 

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 |x|ⁿ⁺¹  / (|1-x|) ≤ 10^-3 . Diese Ungleichung kannst du auch mit dem 10er-Logarithmus nach n umstellen.

 |x|ⁿ⁺¹  / (|1-x|) ≤ 10^-3        |*(|1-x|)

|x|^{n+1} ≤ 10^{-3} (|1-x|)  |  Nun lg 

(n+1) * lg(|x|)/ lg(10) ≤ lg (10^{-3} (|1-x|))

(n+1) * lg(|x|)/ 1 ≤ lg (10^{-3}) + lg (|1-x|)        

(n+1) * lg(|x|) ≤ (-3) + lg (|1-x|)         |x=0.9

(n+1) * lg(0.9) ≤ (-3) + lg (0.1)  = -3 + (-1) = -4 

Ab jetzt ; bei Zeilenwechsel, falls der  Editor die Umbrüche nicht macht.    (n+1) * lg(0.9) ≤ -4 ; (n+1) ≥ -4/lg(0.9) ; n ≥ -4 / lg(0.9)   - 1 ;

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Jetzt ist alles klar , danke :)