Monotonie und Krümmungsverhalten errechnen

Question

f(x) = (x^3/3) - x
Ableitung davon: f'(x) = 3x^2 * (3^-1 - x) + x^3* (-3)^-2 
leider sagt mir der Ableitungsrechner aber: f'(x) = x^2 - 1  Warum? Habe doch x^n schön abgeleitet und dann die Produktregel u' * v + u * v' angewendet, da  f(x) = (x^3/3) - x    umgeschrieben doch x^3 * 3^-1 - x    ist 
& somit ist x^3 = u & 3^-1 - x = v  oder habe ich mich vertan? und u sowie v sind anders definiert?
LG 

Comments

Hi, die Produktregel ist hier vollkommen unnötig :).

Im Übrigen wäre die Ableitung von \((\frac{1}{3})' = 0\)  und nicht \(-\frac{1}{9} \)!

Answer 1

f(x) = (x³/3) - x

Das ist in Worten  Ein Drittel mal x hoch 3  -  x

und wenn nur eine Zahl ( wie ein Drittel) vor so einer Potenz von x steht, bleibt die

Zahl erhalten, gibt also

f ' (x) = Ein Drittel * 3 x^2  -  1 =  x^2 - 1

wenn du unbedingt Produktregel anwenden willst, ist es so:

f'(x) = 3x² * 3^-1    + x³* 0    (soweit das Produkt) und dann noch   - 1,

                                                                              wiel Abl. von x ist 1

Answer 2

  Ableiten ist ein ===> linearer Prozess



     (  f  +  g  )  '  =  f  '  +  g  '     (  1a  )
   
    (  k  f  )  '  =  k  f  '   (  1b  )



    Natürlich folgt ( 1b ) aus der Produktregel; wir wollen es aber einfach so glauben.
   Aber noch ein Geheimtipp für Spickzettel, Formelsammlung und Regelheft. Kubistische Polynome sind ein Sonderfall; ihre Kurvendiskussion hat grundsätzlich zu beginnen mit dem WP ( " Krümmungsverhalten " )
   Das liegt daran, dass es hierzu keiner Ableitung bedarf. Also deine Form ist schon mal Murx; bilde die Normalform



     f  (  x  )  =  x  ³  -  3  x    (  2a  )

    x  (  w  )  =  -  1/3  a2  =  0    (  2b  )


   Das ist auch plausibel; denn hier kommt ein zweiter Punkt ins Spiel; die Symmetrie. Jedes kubische Polynom verläuft Punkt symmetrisch gegen seinen WP . In unserem Fall liegt der ja im Ursprung; und wie du siehst, hat dein Polynom ungerade Symmetrie. Das hängt also alles miteinander zusammen.