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ich gehe gerade alte Klausuren durch und komme bei der einen Aufgabe nicht weiter.

f (x, y, z) = 2x2 xz z3 + y2 +3

(a) Bestimmen Sie alle lokalen Extremstellen von f und geben Sie jeweils an, ob es sich um Minima oder Maximum handelt

Die Schritte sind mir prinzipiell klar:

1. Gradient bestimmen

2. Gradient 0 setzen und das Gleichungssystem lösen

3. Hesse-Matrix bestimmen

4. Extremstellen in die Hesse-Matrix einsetzen und die Definitheit bestimmen

Schritt 1:

grad f(x,y,z,)= ( 4x-z, 2y, -x-3z2 )

Schritt 2:

grad f(x,y,z,) = 0

I:    4x-z = 0

II:   2y = 0     -> y=0

III:  -x-3z² = 0

Und bei diesem Schritt habe ich schon Probleme. Ich würde jetzt die Gleichung III mit -4 multiplizieren und die neue Gleichung dann von der I subtrahieren.

Damit würde ich dann -12z2-z=0 erhalten.

Wie kann ich das Gleichungssystem lösen? Ich steh da leider gerade etwas auf dem Schlauch.

Avatar von

Aufgabe c) ist

Geben Sie das Taylorpolynom ersten Grades von f um den Ursprung als Entwicklungspunkt an.

Bei meiner Berechnung komme ich auf die Lösung 3.

Lösungsweg:

f(0,0,0) + fx(0,0,0) * (x-0) + fy(0,0,0) * (y-0) + fz(0,0,0) * (z-0)

= 3 + 0 * x + 0 * y + 0 * z

= 3

Stimmt das so?

2 Antworten

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-12z2-z=0 ist eine quadratische Gleichung.

Schau mal in deinen Unterlagen nach, wie ihr quadratische Gleichungen gelöst habt. 

Alternativ: Hier Zusammenfassung ansehen: https://www.matheretter.de/wiki/quadratischegleichung

Avatar von 162 k 🚀
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\(z\) ausklammern:

$$ -12z^2-z = -z(12z+1) = 0 $$

Ein Produkt in einem Körper kann nur 0 sein, wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist.

Das bedeutet 2 Lösungen für \(z\):

$$ z_1 = 0 \vee z_2 = -\frac{1}{12} $$

Gruß

Avatar von 23 k

Dann erhalte ich für x auch zwei Lösungen: x1= 0 und x2= -1/48

Also hab ich die Punkte: P1=(0/0/0) und P2=( -1/48 / 0 / -1/12 ) und die setze ich dann später beide in die Hesse-Matrix ein?

Genau, so ist es :).

Bild Mathematik

Muss ich hier jetzt eine Nullstelle raten und dann Polynomdivison anwenden?

Es ist besser, wenn du vor dem Ausmultiplizieren schon ausklammerst.

Wenn ich das richtig sehe (du hast zu viele MAL) kannst du (lambda - 2) ausklammern.

So kommst du um die Polynomdivision und das Raten von Nullstellen rum.

(4-k)(2-k)(-k) - (-1)^2(2-k) 

= (k^2-4k)(2-k) - 1(2-k)

= (k^2 - 4k -1)(2-k)  = 0

k1=2,

k2 und k3 mit hilfe von k^2 - 4k -1 = 0 noch ausrechnen.

Ah super, danke.

Hatte beim Raten der ersten Nullstelle schon Probleme bekommen.

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