Beweise, dass W als echter Unterraum des Vektorraums V echt in f^-1(W) liegt, f ist nilpotenter Endomorphismus

Question

Aufgabe:

Sei f:V-->V ein nilpotenter Endomorphismus und WcV ein echter K-linearer f-invarianter Unterraum, also W ungleich V.

Zu zeigen ist: W liegt echt in f^{-1}(W) und f^{-1}(W) ist ein f-invarianter Unterraum.

Mein Ansatz:

Zu zeigen ist also Wcf^{-1}(W) und f(f^{-1}(W))c (will heißen Teilmenge oder gleich) f^{-1}(W), aus der Verknüpfung von f und f^{-1} folgt dann Wc (Teilmenge oder gleich) f^{-1}(W)

Es soll bekanntlich gezeigt werden, dass W echter Unterraum von f^{-1}(W) ist, also muss schlussendlich nur gezeigt werden

Wcf^{-1}(W)

Jetzt stellt sich mir allerdings die Frage wie ich das mache? Hat das was mit der Nilpotenz zu tun?

Answer 1

zu 1:

W ⊆ f^-1(W):
Wegen W f-invariant gilt: f(W) ⊆ W, also W ⊆ f^-1(W).

Echtheit der Inklusion:
Angenommen es gilt f^-1(W) ⊆ W, dann gilt: f^-1(f^-1(W)) = f^-1(W) = W

Allgemeiner ist (f^-1)ⁿ(W) = W = (fⁿ)^-1(W) und speziell für n derart, dass fⁿ = 0 ist, folgt V = (fⁿ)^-1(W) = W

Das steht aber im Widerspruch zur Voraussetzung W ⊆ f^-1(W)

Comments

sollte dir der hinweis für den zweiten teil der b nicht reichen dann schreib nochmal.

gegenfrage: hast du vielleicht einen hinweis für aufgabe (i) für mich

ich bekomme die jordanbasis nicht auf die reihe

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@Anonym: Bei irgendwem von euch steht die Jordanbasis im Skript auf S. 222(?), wenn ich mich richtig erinnere. Vermutlich hast du das auch schon gesehen. Über die suche hier findet ihr vermutlich leider nur eine Seitenzahl.

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Der Witz ist ja, dass das Skript nur 221 Seiten hat.

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Mit dem Hinweis für den zweiten Teil komme ich auch nicht weiter.
Ist die f-invarianz nicht einfach schon dadurch gegeben, dass f(f^-1(W)) = W ist, und W echt in f^-1(W) liegt, gegeben?

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Vielleicht hilft auch das weiter: https://www.mathelounge.de/5079/beweis-zeigen-sie-dass-1-genau-dann-ein-unterraum-ist-wenn-w-0