Konvergenz, Potenzreihe, Wert

Question

ich gehe gerade alte Klausuren durch und könnte etwas Hilfe gebrauchen :)

Answer 1

Hi Betonblau,

zu (a):

Es gibt ein ganz ähnliches Kriterium zum Konvergenzradius, dass ihr eigentlich behandelt haben müsstet.

Siehe hier. Denk dran auch den Rand des Konvergenzradius zu betrachten.

zu (b):

Für (i) kannst du das Minorantenkritierum verwenden um zu zeigen, dass die Reihe divergiert.

(ii) hast du ja gelöst. Hier wäre kein Kriterium notwendig wenn du bereits die Definition der Exponentialfunktion als Reihe kennst. Mit dieser kriegst du auch den Grenzwert locker raus.

Gewöhne dir eine saubere Arbeitsweise an, z.Bsp. solltest du den Limes-Ausdruck nicht nur zu Beginn schreiben sondern bei jedem Zwischenergebnis mitnehmen.

Gruß

Comments

Muss ich die Aussage "xn konvergiert an keinem der Randpunkte +-1" auch beachten, weil ich achte ja bei der Rechnung oben nur auf die Folge an und nicht auf die komplette Potenzreihe.

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Also zuerst einmal ist es richtig, dass \( \sqrt[n]{n^2} \rightarrow 1 \) und der Konvergenzradius \( r = 1\) ist. Damit konvergiert die Reihe schonmal für alle \(x \in (-1,1) \) (sogar absolut).

Das du das gleiche rausbekommst, wie beim QK liegt in diesem Fall daran, dass 1/1 = 1 ist....

Die Aufgabe möchte von dir aber alle Werte, demenstprechend musst du schauen, ob für \( x= -1\) und \(x=1\) die Reihe ebenfalls absolut konvergiert.

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Erstmal Danke für deine Hilfe ! :)

Für x=-1, wird aus x_n eine alternierende Folge, also würde für ein gerades n der Wert 1 sein und für ein ungerades n wäre der Wert -1. Da -1<1 Es wäre also nur die Potenzreihe mit dem ungeraden n absolut konvergent.

Bei x=1 wäre x=r somit kann keine Aussage getroffen werden, oder?

Oder ist dieser Lösungsansatz komplett falsch? Weil eigentlich kann ich ja keine richtige Aussage treffen wegen x=r.

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Kein Problem dafür ist das ja hier auch gedacht :).

Muss dir aber sagen, dass diese Ausführung von dir wenig Sinn macht. Du machst es dir wahrscheinlich zu kompliziert. Wenn du zum Beispiel den Fall \(x=-1\) betrachtest, dann setzt du einfach mal den Wert für \(x\) ein :).

$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2} (-1)^n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$$

und die Reihe konvergiert absolut (kennst du ja bestimmt schon).

Genauso gehst du bei \(x=1\) vor und erhältst wieder absolute Konvergenz (die Reihe für \(x=1\) sieht ja nicht sehr viel anders aus). Somit konvergiert die Potenzreihe auch auf dem Rand des Konvergenzradius.