a)
Das Skalarprodukt von p und q = 2*1/2*1/2 + 1/2 *1 * (-1) = 0 [vgl. Kommentar von Gast]
Da hast du Glück - denn deshalb sind die Vektoren bereits orthogonal und müssen nur noch normiert werden. Sonst wäre das bei a) eine üble Rechenarbeit!
********************** kannst du überspringen, wenn die der allgemeinere Fall nicht interessiert!
die Anleitung dafür findest du hier:
https://de.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmidtsches_Orthogonalisierungsverfahren
UNTER dem Beispiel [NICHT oben bei Orthgonalisierungsverfahren!]
Dabei ist <a,b> das Skalarprodukt gemäß der in der Aufgabe stehenden Definition desselben.
w1 = 1/2x+1, w2 = 1/2x -1 wie in der Aufgabe gegeben.
(Beide sind linear unabhängig, weil keiner ein Vielfaches des anderen ist.)
|| w|| ("Norm von w") ist die die Wurzel aus dem Skalarprodukt <w,w>.
v1' und v2' sind Zwischenergebnisvektoren,
v1 und v2 die gesuchten Vektoren der Orthonormalbasis.]]]
****************************
weiter mit der Aufgabe:
Ein Vektor v (hier Polynom der Form ax+b) wird normiert, indem man ihn durch seine Norm teilt:
[ in der Schule ist die Norm der Betrag, der normierte Vektor der zugehörigr Einheitsvektor]
v normiert = v / ||v|| [ ||v|| = Norm von v ],
wobei ||v|| = sqrt( <v,v> ) - also die Wurzel aus dem Skalarprodukt von v mit sich selbst - ist.
|| 1/2+x || = sqrt ( 2*1/2*1/2 + 1/2 *1 * 1) = 1 ,
|| 1/2x-1|| = sqrt( 2 * 1/2 *1/2 + 1/2 * (-1)*(-1)) = 1
Und schon wieder hast du Glück, denn p und q sind schon normiert!
Die gesuchte Orthonormalbasis ist also {p,q}
b)
Sind k1 und k2 die gesuchten Koordinaten, dann gilt:
r(x)=3x = k1*(1/2x+1) +k2*(1/2x-1)
3x = 1/2 *(k1+k2) * x + k1-k 2
Diese Gleichung kann für alle x nur bestehen, wenn 1/2*(k1+k2) = 3 und k1-k2 = 0 gilt.
[So etwas nennt man 'Koeffizientenvergleich' ]
Dieses LGS mit zwei Unbekannten solltest du lösen können.
