DGL-System, Aufgabe mit AWP

Question

Lösen Sie schrittweise das folgende AWP

y`= A*y + r(x)

mit $$ A=\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -4 & 9 \end{pmatrix}$$ , $$r(x)=\begin{matrix} x \\ x \end{matrix} $$ ,

$$y(0)=\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}$$ .

Geben Sie den Typ des DGL-Systems, den zugehörigen Ansatz und am Ende die allgemeine Lösung des DGL-Systems und des AWP an.

LG

Answer 1

1.)Geben Sie den Typ des DGL-Systems an:

System linearer DGL 1. Ordnung

2.den zugehörigen Ansatz

a)Eigenwerte

det(A-LambdaE)=0

Lösung: Lambda1 =Lambda2= 5

--->

b) y_1=C_1 *e^{5x} +C_2 *x*e^{5x}

c)y_2=1/a12* (y_1'-a11*y_1)

d)Ansatz part. Lösung:

y1(p)=a+bx

y2(p)=A+Bx

e)Einsetzen der part. Lösung in die Aufgabe

f)y=y_h+y_p

g)AWB in die Lösung einsetzen

3.die allgemeine Lösung des DGL-Systems und des AWP an.

y_1=1/135 (e^{5x}(138-20x) -45x-13)

y_2=1/125 (e^{5x}(133-20x) -20x-8)

.

Comments

Dankeschön. Wie bist du auf c) und d) gekommen? Könntest du mir die beiden Punkte kurz erklären? Und handelt es sich hierbei um eine lineare Dgl mit konstanten oder stetigen Koeffizienten?

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Schau mal, hier ist ein Auszug aus dem "Papula"(Standardwerk für Studenten)

Wie bist du auf c) und d) gekommen? --->siehe Link

Und handelt es sich hierbei um eine lineare Dgl mit konstanten oder stetigen Koeffizienten? 

konstante Koeffizienten

https://books.google.de/books?id=D0MpBAAAQBAJ&pg=PA288&lpg=PA288&dq=Ans%C3%A4tze+lin+dgl+systeme+papula&source=bl&ots=9kOWgfcCs1&sig=_bjp8GUpnJHWTippcpK9maC88kM&hl=de&sa=X&ved=0CEEQ6AEwBzgKahUKEwjQqaa3o_THAhXDuBQKHVwMAN4#v=onepage&q=Ans%C3%A4tze%20lin%20dgl%20systeme%20papula&f=false

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Wie du auf c) gekommen bist, habe ich ja jetzt verstanden. Aber wie kommst du auf den Ansatz?

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der Ansatz ist wie bei DGL  auch,

siehe dieser Link , hier sind unten noch Beispiele.

http://www-math.upb.de/~mathkit/Inhalte/DGLen/data/manifest10/Lsg_inhomDGL_2_Ord_konst_Koeff.html