Wie löst man diese Gleichung: Ein Teich soll mit zwei Zuflüssen gefüllt werden.

Question

Vor langer Zeit war das einmal an einer Prüfung. Ich kann sie nicht mehr Lösen, würde aber gerne das Vorgehen wissen:

Lösen Sie die folgende Aufgabe mit einer Gleichung:In einen Teich einer Ziegelei münden zwei Zuflüsse. Der erste vermag den leeren Teich in 10 Stunden, der zweite in 15 Stunden zu füllen.Man liess in den bereits zur Hälfte gefüllten Teich zuerst den ersten Zufluss alleine zwei Stunden zuströmen und öffnete dann auch den zweiten.Wie viele Stunden und Minuten dauerte es noch, bis der Teich ganz gefüllt war?

Answer 1

Also, sei die Größe des Teiches V.

Außerdem sei die erste Zuflussgeschwindigkeit v und die zweite Geschwindigkeit u.

Dann gilt:

V = v*10h  ⇒ v = V/10h

V = u*15h ⇒ u = V/15h

 

Am Ende ist der Teich ganz gefüllt, deswegen schreibe ich auf die linke Seite der Gleichung V. Rechts schreibe ich alle Summanden hin, die zueinander kommen:

V = V/2 + 2h*v + t*(u+v)

V/2: Am Anfang ist der Teich halb gefüllt.

2h*v: Zwei Stunden lang ist nur der erste Zufluss geöffnet.

t*(u+v): Jetzt sind beide Zuflüsse geöffnet, sie bleiben für die Zeit t geöffnet.

Jetzt kann man für u und v die beiden bekannten Formeln einsetzen:

V = V/2 + 2h*V/10h + t*(V/10h + V/15h)

Nun kann man V aus der gesamten Summe auf der rechten Seite ausklammern und durch V teilen.

V = V*(1/2 + 1/5 + t*(1/(10h) + 1/(15h))) | :V

1 = 1/2 + 1/5 + t*(3/(30h) + 2/(30h)) |-1/2, -1/5

10/10 - 5/10 - 2/10 = t*(5/(30h))

3/10 = t*(1/(6h)) | *6h

t = 1,8h = 60min + 48min = 108min

 

Answer 2

Der erste hat eine Leistung von 1/10 Teich pro Stunde

Der zweite hat eine Leistung von 1/15 Teich pro Stunde

zusammen haben sie eine Leistung von 5/30 = 1/6 Teich pro Stunde

Nach 2 Stunden hat der erste 1/5 des Teiches geschafft.

Der Rest ist 4/5 des Teiches (4/5) / (1/6) = 24/5

4 Stunden und 48 Minuten brauchen sie noch zusammen.

Comments

Du hast vergessen, dass der Teich am Anfang schon halbvoll ist. :-)

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Stimmt, ich habe das überlesen. Danke.