Verständnisfrage zur Umkehrfunktion!

Question

ich habe ein paar Fragen zur Umkehrfunktion.

1. Muss jede Funktion stetig sein, um eine Umkehrfunktion bilden zu können?

2. Muss jede Funktion bijektiv sein, um eine Umkehrfunktion bilden zu können oder reicht es, wenn sie injektiv ist?

3. Wenn sie bijektiv sein muss, ist dann auch, eigentlich logischerweise, jede streng monotone Funktion bijektiv?

Irgendwie kann ich mir diese Fragen nicht ganz sicher selbst beantworten ^^. Ich hoffe ihr wisst da besser Bescheid :D.

Answer 1

1) Nein, jede bijektive Abbildung besitzt eine (eindeutige) Umkehrfunktion, egal ob stetig oder nicht.

2) Nein, Injektivität reicht nicht.

3) Streng monotone Funktionen sind injektiv, aber nicht zwangsläufig surjektiv.

Answer 2

1. Nein muss sie nicht.

2. Ja muss sie.

3. Nein. Insofern sie surjektiv ist, dann ja ;).

Vergiß nicht, dass es bei Funktionen immer eine Rolle spielt zwischen welchen Mengen sie abbildet.

Gruß

Comments

Der dritte Punkt stimmt nicht.

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Du meinst bei dir? Gut erkannt ;). War schon am editieren aber danke trotzdem für den Hinweis.

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Ich hatte am Anfang etwas falsches geschrieben, das aber schon korrigiert. Deine Antwort stimmt doch aber nicht: Es ist nicht jede stetige streng monotone Funktion bijektiv.

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Ok... ähm was genau stimmt denn jetzt?^^

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Jetzt dürfte kein Problem mehr sein.

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Bei der zweiten Frage ist es scheinbar noch unklar.

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Sorry, verlesen.:D Danke an alle^^

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Aber Moment, ich bin mir sehr sehr sicher das jede streng monoton wachsende oder fallende Funktion umkehrbar ist, aber nach euren Antworten nach, ist dem nicht so´oder?

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Sicher sein reicht nicht. Nick und ich mussten dementsprechend auch unsere 3. Antworten korrigieren. Du kannst dir leicht ein Gegenbeispiel konstruieren indem du die Zielmenge deiner streng monotonen Funktion so wählst, dass sie nicht mehr surjektiv ist.

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Ich meinte mit sehr sehr sicher, dass das so im Lehrbuch von Lothar Papula steht . Deswegen verwirrt mich das ein wenig. Naja, trotzdem danke ich prüfe das einfach mal nach wie du gesagt hast :).

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Meinst du "Mathematik für Ingenieure"? Was die Umkehrbarkeit betrifft vergleiche Wolfgangs Antwort, man kann sich natürlich die Zielmenge auch so wählen, dass eine injektive Funktion auch surjektiv ist.

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Um ein Beispiel zu geben.

die Funktion \(f:[0,\infty)\rightarrow [0,\infty),\quad f(x) = x\text{ für }0\le x\le 1 \text{ und }f(x)=x+1\text {für 1<x}\) ist injektiv (streng monoton) aber nicht surjektiv. Z.B. gibt es kein x, für das f(x)=2 ist. Die Funktion \(f':[0,\infty)\rightarrow \operatorname{Bild}f,\quad x\mapsto f(x)\) ist es aber, also bijektiv.

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Kleiner Tipp: Wenn du einer Funktion einen neuen Namen geben willst, solltest du nicht an den alten Funktionsnamen einen Strich anhängen. Das könnte (wie bei mir kurz) zu Verwirrungen führen, was die Ableitung von \(f\) hier zu suchen hat. ;-)

Verwende lieber \(\tilde f\) o.Ä. (oder auch einen ganz neuen Buchstaben).

Answer 3

1) Nein

2)  Bei injektiven Funktionen f kann man eine Umkehrfunktion

f^-1: Wertemenge von f  -> Definitionsmenge von f  definieren

Das ist also eine Frage der Definition.

3) Eine streng monotone Funktion ist  sicher injektiv. Da die Zielmenge nicht unbedingt als Wertemenge von f angegeben werden muss, ist sie nicht notwendigerweise surjektiv.

Comments

zu 2) Dann ist \(f^{-1}\) eine Umkehrfunktion zu \(f: D \to W\) mit \(W=Bild(f)\) und diese ist dann auch bijektiv.

Answer 4

Den klugen Schüler / Studenten erkennt man nicht so sehr an seinen Antworten, sondern an seinen Fragen.


   Punkt 1


   <<  Muss jede Funktion stetig sein, um eine Umkehrfunktion bilden zu können?


   Ganz klare Antwort: Du verwechselst Ursache und Wirkung. Darf ich als bekannt voraus setzen, was die ===> Mächtigkeit ( Kardinalzahl ) einer Menge ist? Den ersten und zweiten ===> Cantorschen Diagonalbeweis ( CDB ) ?
   Zwei Mengen  D ( " Definitionsbereich " ) und W ( " Wertevorrat " ) mögen äquivalent heißen, wenn ihre Kardinalzahl gleich ist, d.h.  es gibt eine umkehrbar eindeutige Zuordnung



      f  :  D  <===>  W   (  1  )



   So sagt etwa der CDB1 aus, dass - erstaunlich genug - |N und |Q beide abzählbar sind, ihre Mächtigkeit ist " Alef_0 " Dagegen die reellen Zahlen enthalten überabzählbar viele Elemente



       
      card  |R  =:  Alef_1  =  2  ^  Alef_0    (  2  )



   Alef_1 nennt man auch die " Mächtigkeit des Kontinuums "  dies ist motiviert durch den Umstand, dasss alle Vektorräume |R ² , |R ³ , . . .  , |R ^ n  genau so viele Elemente besitzen ( Sie enthalten also nicht " unendlich mehr " Elemente bloß, weil ihre Dimension höher wäre. )
   Dies muss man beweisen, indem man eine Bijektion angibt


    
     f  :  |R  <===> |R  ³     (  3  )



    Hier nur die wesentliche Idee ( Die technischen Feinheiten sind mir entfallen. ) Du nimmst dir die Nachkommastellen einer reellen Zahl r her und teilst diese in Dreiergruppen auf.  Die erste Ziffer der ersten Dreiergruppe werden die Zehntel der x-Koordinate, die zweite Ziffer die Zehntel von y und die dritte von z . Jetzt machst du so weiter; die zweite Dreiergruppe liefert dir die Hundertstel.
   Du das ist der perfekte Geheimcode; auf diesem Wege kannst du alle Punkte des Raumes umkehrbar eindeutig mit einer Geheimzahl verschlüsseln. Ja dieser Code lässt sich auch nicht brechen; er ist nämlich unstetig. Ähnliche Codezahlen entsprechen immer weit entfernten Punkten; und je näher sich zwei Punkte des Raumes kommen, desto unähnlicher werden diese Zahlen

  " Zu jedem € gibt es ein Delta . . .  "

  " Aber warum macht man sich das Leben so schwer? Gibt es denn keine umkehrbar stetige Zuordnung zwischen |R und |R ³ ? "

   Hier nun habe ich über geleitet zu unserem neuen Generaltema: stetigen Funktionen. Ganz heißer Tipp: Kauf dir das " Franzbändchen " ; es handelt sich um ein Taschenbuch, und zwar das Vorlesungsskript von Prof. Franz / Frankfurt über ===> Topologie . Glaub mir; Topologie macht Freude und vermittelt dir viele Erfolgserlebnisse.
    Topologie ist fast noch allgemeine Mengenlehre; die einzige Spezialisierung: Auf Grund sehr abstrakter formaler Kriterien wird ausgesagt, wann eine Menge U anzusprechen ist als " ( offene ) Umgebung " ihrer Elemente x € U . Und so bald du den Umgebungsbegriff hast, ist es nicht mehr weit zu konvergenten Folgen - Franz gibt die wohl abstrakteste Definition des Grenzwertbegriffs.
   Die Definition der Stetigkeit hängt übrigens direkt am Limesbegriff; den Wenigsten ist das bewusst. Sei x < n > eine x0-Folge; dann heißt y = f ( x ) stetig in x0, wenn Abbildungsvorschrift f und Limes miteinander vertauschen.




      lim  f  (  x  <  n  >  )  =  f  (  lim  x  <  n  > )     (  4a  )

     lim  y  <  n  >  =  f  (  x0  )      (  4b  )



  Seien T1;2 zwei topologische Räume; ob eine Abbildung f : T1 ===> T2 stetig ist oder nicht, ist eine relative Aussage und hängt durchaus davon ab, welche Topologien in T1;2 gelten sollen. In der nummerischen Matematik kommt diesem Umstand bei Konvergenzabschätzungen in Funktionenräumen durchaus praktische Bedeutung zu; im Falle von |R merkst du bloß noch nix davon.
   Man intressiert sich jetzt für umkehrbare Abbildungen zwischen den beiden topologischen Räumen T1;2



          f  :  T1  <===>  T2   (  5  )



      Ist es möglich, ein f anzugeben, das in beiden Richtungen stetig ist, so heißen die Räume T1 und T2 äquivalent, und f nennt man " Homöomorphismus " zwischen T1 und T2 . Du siehst; die bloße Äquivalenz zweier ( gleich mächtigen ) Mengen wurde verschärft zu ihrer topologischen Äquivalenz; so hängen die beiden Begriffe zusammen.
   Definieren lässt sich ja erst mal alles Mögliche; aber was motiviert uns, ausgerechnet die Stetigkeit als Maßstab zu nehmen für die Äquivalenz von Topologien?  Geläufiger als ( 4ab ) ist dir vielleicht diese €-Delta-Definition der Stetigkeit

  "  Jede ( offene ) €-Umgebung besitzt als Urbild eine Delta-Umgebung. "

   Dies ist bereits die exakte Aussage; und Franz verallgemeinert sie auch. Aus Definition ( 4ab ) folgt nämlich

   " y = f ( x ) ist stetig in x0 genau dann, wenn



     für jede Umgebung  U  (  y0  )  ===>  F  ^  -1  (  U  )  ist offen    "     (  6a  )


   Darf ich diese Schreibweise mit dem F ^ -1 als bekannt voraus setzen?
   Studenten verwechseln das oft; die meinen dann




     U  offen  ===>  f  (  U  )  offen       (  6b  )



   Eine Abbildung, die ( 6b ) befriedigt, heißt offen. Gegenbeispiel einer stetigen, aber nicht offenen reellen Funktion: y = f ( x ) = 1 = const
   Und ein Homöomorphismus ist eben offen, und zwar in beiden Richtungen. Eine Topologie ist bekannt, wenn ich alle offenen Mengen angeben kann; und dieser Homöomorphismus ordnet die offenen Mengen von T1 und T2 einander 1 : 1 zu . Im Wesentlichen sind also T1 und T2 das Selbe.
   In ( 3 ) hatten wir einen  ===> Hashcode für die Punkte des |R ³ angegeben; aber sind diese beiden Räume auch äquivalent? Ich schätze mal nein; denn in |R sind die offenen Mengen die offenen €-Intervalle, in |R ³ dagegen ( offene ) Kugeln K ( x0 ; € ) mit Mittelpunkt x0 so wie Radius € .
   Beweis durch Widerspruch; sei f ein Homöomorphismus, der ( 3 ) befriedigt. Jetzt kann ich doch her gehen und |R in |R ³ einbetten, indem ich für die Koordinaten setze y = z = 0 . Sei J ein Intervall in |R . Intervalle sind aber ===> zusammen hängend, d.h. Mengen ohne " Löcher "  Jede stetige Abbildung ist auch zusammen hängend ; d.h. die Bildmenge f ^ -1 ( J ) erweist sich eben Falls als Intervall.
  Sei nunmehr L ein offenes Teilintervall von f ^ -1 ( J ). Dann ist offenbar nach Konstruktion f ( L ) Teilintervall unseres Ausgangsintervalls J . Andererseits hatten wir ja gesagt, f ist offen. D.h. f ( L ) ist gleich einer GANZEN Kugelumgebung K ( x0 ; € ) ; Widerspruch.
   Selbst in popolären Denksport-und Bastelbüchern findest du die Verschärfung ( gegenüber Franz ) :

   Eine Abbildung zwischen ( reellen ) Vektorräumen unterschiedlicher Dimension ist ENTWEDER stetig oder umkehrbar - aber nie beides zugleich.


  
   Punkt 2


   <<  2. Muss jede Funktion bijektiv sein, um eine Umkehrfunktion bilden zu können,
 <<   oder reicht es, wenn sie injektiv ist?


   Eine der hintergründigsten Fragen, die mir je begegnet sind.
  ( max Zeichen )

Comments

"Den klugen Schüler / Studenten erkennt man nicht so sehr an seinen Antworten, sondern an seinen Fragen."

Wirklich? Ist das dein ernst? 

Ich meine mir ist durchaus bewusst, dass ich nicht gerade ein Ass in Mathematik bin. Meine Stärken liegen eher woanders, aber genau deshalb stelle ich meine Fragen auf dieser Seite. Gerade weil ich eben Probleme in diesem Bereich habe und bisher wurde mir auch immer geholfen. Und zwar von kompetenten und verständnisvollen Menschen. Was du hier veranstaltet hast ist, in meinen Augen, einfach nur lächerlich und hat vermutlich nur irgendwelche stupiden narzisstischen Hintergründe. Weißt du, es mag sein, dass du meine Intelligenz oder was auch immer in Frage stellst und es ist auch offensichtlich, dass du in Mathematik einen besseren Durchblick hast, aber es gibt immer jemanden der besser ist als du und ich hoffe, dass dieser jemand sich deinen Kommentar durchließt und sich dabei eine Sache denkt: "Wie klug kann man sein, wenn man sich selbst Fragen stellt, dessen Antwort man bereits kannte?". Auf diese Frage gibt es mehrere Antworten, doch nur eine trifft auf dich zu...

Nutze deine Zeit, beim nächsten Mal, sinnvoller. Mit deinem voraussichtlichen Wissen kannst du bestimmt bedeutendere Dinge anstellen oder?

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<<  "Den klugen Schüler / Studenten erkennt man nicht so sehr an seinen Antworten, sondern an seinen Fragen."

Wirklich? Ist das dein ernst? 

ja; es IST mein Ernst. Und ich weiß auch nicht, warum du dich da veraascht fühlst.

Schau mal; wir hatten einen Mathelehrer; Simon. Der war psychisch krank. Obwohl - als inkompetent würde ich den an sich nicht bezeichnen. Dem seine Stärken und Schwächen führten dazu, dass ihn die eigenen Kollegen als das " Vollgenie " verulkten; einer Kl. 7 wollte der beispielsweise Integralrechnung beibringen ( ! )

Aus deinem Kommentar ersehe ich oder meine zu Mindest zu ersehen, dass du Matematik empfindest als Enzyklopädie aus positivem Wissen. So wie man beispielsweise alles über Bienenzüchtung in sich aufsaugen kann; und wenn du diesen Lehrstoff nicht raffst, bist du eben eine Niete in Bienenzucht.

Oder noch schlimmer: das Krweuzworträtsellexikon. Du kannst dir die voll Sinn lose Fähigkeit aneignen, effizient diese Spielchen zu lösen.

Deine Frage hörte sich für mich so an:

" Hier ich hab mal was von Umkehrfunktionen gehört. Und stetige Funktionen kenne ich auch.

Aber was hat das eine mit dem anderen zu tun? "

Hier die FAZ brachte mal die zwölf Kategorien, in welche die traditionelle chinesische Philosophie die Tiere einteilt; hier auswändig krieg ich die gar nicht mehr zusammen:

1) frei herum laufende Hunde

2) solche, die dem Kaiser gehören

3) Zebras

4) solche, die von Ferne wie Mücken aus sehen . . . usw

Ja wir lachen - lachen darüber, wie nur ein Mensch der Art chaotisch denken kann.

Sicher ist deine Frage jetzt nicht der ausbund an Professionalität. Aber auch ich verteidige manche Personen, Bücher oder Ideen, weil ich sage, guck mal ihr mit euren ===> Mausefallenbeweisen a la ===> Schopenhauer. Da ist doch mal wieder Einer gekommen, der sieht, worauf es ANKOMMT bei diesem und jenem Beweis.

Ich meine; ich kann ja nur hinweisen, weil wir uns nicht im persönlichen dialog gegenüber stehen.

Angenommen du hast die ===> Menge M1 ( Mengenlehre ) aller verheirateten Männer von London.

Und die Menge M2 aller verheirateten Frauen. Dann sind das doch gleich viele; es existiert eine Umkehrabbildung von den Männern auf die Frauen. Aber wenn M1 eine Menge von 4 711 Autos wäre und M2 eine Menge von zehn Flugzeugen, dann ist es nicht mehr möglich, M1 und M2 umkehrbar aufeinander zu beziehen.

Oder würdest du sagen, das verstehst du nicht?

Was du aber wahrscheinlich noch nie gehört hast; und deshalb hab ich dir paar Stichwörter für Wiki aufgeschrieben.

Es ist nämlich nicht so, dass alle unendlichen Mengen gleich viel Elemente hätten; da gibt es - so merkwürdig das klingt unendlich mehr und unendlich weniger. Wir wissen das heute, weil man genau versucht hat, auch zwischen unendlichen Mengen umkehrbare Abbildungen zu stiften.

An diesem Punkt war überhaupt noch nicht die Rede von Stetigkeit, also rein von der Hierarchie der Begriffe kann doch wohl die Stetigkeit nix damit zu tun haben, ob es eine Umkehrabbildung gibt.

Ich müsste jetzt von dir wissen: Wie habt ihr die Stetigkeit definiert? Ich sagte dir schon; das kann man ganz allgemein machen. Reelle funktionen sind nur ein ganz spezielles, wenn auch wichtiges Beispiel.

Und dann sagte ich dir, die Topologie fragt, wann eine stetige Abbildung nicht nur umkehrbar ist, sondern ihre Umkehrung auch wieder stetig; natürlich gibt's da einen Haufen schlauer Sachen.

Aber so hängt das alles miteinander zusammen.

Hier mal ein Beispie; da kann ICH jetzt nix für.

Irgendein Knabe hatte gelernt, so paar Funktionen abzuleiten; Parabel und so.

Das wirbelte in seinem Kopf rum wie die Zebras, die dem Kaiser gehören. Schreibt der Junge

" Ich weiß auch, dass es da einen Grenzwert gibt; aber . . .  "

Kommt der bitter böse Kommentar

" Gaar nix hast du kapiert. Was denn fürn Grenzwert; von Was denn? Was willst du überhaupt mit deinem Grenzwert? "

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@hh106: Zitat: "... und ich hoffe, dass dieser jemand sich deinen Kommentar durchließt ..."

Bist du ernsthaft der Meinung, dass sich irgendwer diese ewiglangen geistigen Ergüsse von godzilla (wie er früher hieß, als er noch angemeldet war) durchliest? Das kann ich mir irgendwie nicht so ganz vorstellen... Ich jedenfalls habe besseres zu tun, als mir hier stundenlang irgendwelches Geschwafel durchzulesen. Nimm seine Kommentare also nicht allzu ernst. :)