Was ist ein Widerspruchsbeweis und ein Symmetriebeweis?

Question

mit beispielen bitte

danke schonmal   <3

Answer 1

Ich möchte beweisen, dass 1 + 1 nicht 3 ist.

Beweis durch Widerspruch.

Ich nehme das Gegenteil von dem was ich beweisen will. und versuche das zu begründen. Ich nehme also erstmal an 1 + 1 ist das gleiche wie 3.

1 + 1 = 3

Da diese Annahme jetzt offensichtlich ein Widerspruch ergibt, da 1 + 1 eben nicht 3 ist, muss meine Annahme falsch sein und damit ist es bewiesen was ich beweisen wollte.

Ein typischer Beweis durch Widerspruch ist der Beweis, dass die Wurzel aus 2 irrational ist. Dort nimmt man zunächst an, dass die Wurzel 2 rational ist und macht dann Umformungen, die zum Widerspruch führen. Aus dem Grund ist die Wurzel 2 nicht rational sondern irrational.

Comments

Meinst du jetzt den Symmetriebeweis von Funktionen. Dort kennen wir z.B. den Beweis zur

Achsensymmetrie f(-x) = f(x)
oder zur Punktsymmetrie f(-x) = -f(x)

Ich habe jetzt eine Funktion

f(x) = x^4 - 2x^2 + 7

Dort setze ich jetzt für das x ein -x ein

f(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2 + 7 = x^4 - 2x^2 + 7 = f(x)

Damit wäre dort jetzt z.B. eine Achsensymmetrie nachgewiesen.

Answer 2

Hallo ich kann dir mit dem Widerspruchsbeweis an Hand der Wurzel 2 dienen:

 

Die √2 ist nämlich irrational d.h sie lässt sich nicht als Bruch darstellen.

Wir werden jetzt indirekt beweisen, dass √2 irrational ist. Dazu nehmen wir zunächst an die √2 wäre rational d.h wir könnten sie als Bruch darstellen - was ja mit jeder rationalen Zahl machbar ist:

 

√2=m/n                               m und n sind ganze Zahlen, der Bruch m/n soll nicht weiter teilbar sein.

 

 

Jetzt Quadrieren wir beide Seiten und Multiplizieren anschließend mit n²

 

2=m²/n²          Ι *n²

 

m²=2n²

 

Die Gleichung:  m²=2n²      besagt, dass m² durch 2 Teilbar ist, was aber nur möglich ist, wenn m selbst eine gerade Zahl ist. Quadriert man eine ungerade Zahl ist das Ergebnis stets ungerade. Wir können m also in der Form m=2k schreiben, wobei k eine ganze Zahl ist. Das setzen wir nun wieder in die letzte Gleichung ein:

 

4k²=2n²

2k²=n²

 

Damit die Gleichung stimmt, muss auch n durch 2 teilbar sein. Das bedeutet sowohl m als auch n sind durch zwei Teilbar. Das ist jedoch ein Widerspruch zu unserer Annahme, dass m/n ein nicht kürzbarer Bruch ist.

Die Annahme, √2  wäre eine rationale Zahl ist also falsch. Tatsächlich ist sie eine irrationale - weil nicht als Bruch darstellbar.

 

Widerspruchsbeweise nennt man wegen ihrer Indirekten Vorgehensweise auch Indirekter Beweis. Man nimmt zunächst etwas an und prüft ob es mit den geltenden Rechengesetzen keinen Widerspruch also Fehler gibt.

 

Ich hoffe das dir das geholfen hat.

Gruß D