Statistik Darstellung als Intervalle

Question

Ich verstehe hier nicht ganz wie ich das machen muss. Könntet Ihr mir vielleicht anhand von Beispiel 1 erklären wie ich es machen muss?

Answer 1

Schauen wir uns mal die ersten paar Intervalle an, die vereinigt werden sollen:

* \( n=1: [0,1-\frac{1}{1}]=[0,0] \)

* \( n=2: [0,1-\frac{1}{2}]=[0,\frac{1}{2}] \)

* \( n=3: [0,1-\frac{1}{3}]=[0,\frac{2}{3}] \)

* \( n=4: [0,1-\frac{1}{4}]=[0,\frac{3}{4}] \)

Die Vereinigung dieser Intervalle ist wiederum das Intervall \( [0,\frac{3}{4}] \). Was passiert nun mit der rechten Intervallgrenze, wenn \( n \) immer größer wird? Anders ausgedrückt: was ist \( \lim_{n\to\infty}(1-\frac{1}{n}) \)?

Comments

die Vereinigung ist doch dann nicht [0,3/4] oder das wäre doch nur bei der Schnittmenge oder sehe ich das falsch?

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Was schlägst du als Vereinigung vor? Die Schnittmenge besteht nur aus der 0, weil das die einzige Zahl ist, die in allen Intervallen enthalten ist. Bei der Vereinigung genügt es aber, dass die Zahl in mindestens einem der zu vereinigenden Intervalle enthalten ist.

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Ich hätte gesagt bei a) [0,1 1]

b) [0  0]

c) [0  0]

Aber ich glaube ich verstehe den Sinn immer noch nicht

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Das Komma bei \( [0,1-\frac{1}{n}] \) ist kein Dezimaltrennzeichen. Vielmehr trennt es die linke von der rechten Intervallgrenze. Die linke Intervallgrenze ist 0, die rechte ist 1-¹/_n.

Answer 2

(1) An der Vereinigung nehmen abgeschlossene Intervalle teil, die

alle ineinander liegen . Also ist das Ergebnis [ 0 ; 1)

Die 1 gehört nicht dazu, weil in keinem der Intervalle die 1 liegt.

Jedes Zahl 1-eps mit kleinem positiven eps gehört aber dazu, weil es zu

1 -eps immer ein  n gibt , so dass 1 - 1/n größer ist:

1 -eps    <  1 - 1/n

- eps < -1 / n

  eps > 1/n

n > 1/eps    Und zu jedem positiven eps gibt es so ein n.

(2) Hier liegen wieder alle Intervalle ineinander

werden aber mit zunehmendem n immer kürzer.

Das einzige Element, das alle gemeinsam haben ist 0.

kleinere eh nicht und wenn eps > 0 in dem Durchschnitt wäre, müsste

für alle n aus N gelten  eps < 1 / n

was   auf n < 1/eps führt.    Widerspruch zum Axiom des Archimedes:

Zu jeder pos. reelleen Zahl gibt es ein n, das größer ist.

(3)  Ist irgendwie Banane. Ein Intervall dessen linke

Grenze größer als die rechte ist, gibt es nicht. Gemein ist aber

wohl  [ 1/(n+1) ; 1 / n] . Auch der Schnitt ist leer.

Denn 0 oder negative Zahlen sind in keinem der Intervalle.

gäbe es ein positives eps, das in allen ist, müsste für alle n aus N gelten

1/(n+1) < eps < 1/n   also

n+1 > 1/eps > n   

Da aber für hinreichend große n   1/eps < n ist, geht das auch nicht.