Sind die folgenden Mengen Kompakte Menge?

Question

, ich verstehe die folgenden Aufgaben auf meinem Lehrbuch offensichtlich nicht, könnte jemand mir helfen?es wäre nett von ihnen!

Untersuchen Sie die folgenden Mengen daraufhin,ob sie kompakte Teilmengen von C sind.

(a) M₁={1, . . . , n}

(b) M₂={x| x∈[1/(n+1) , 1/n] für ein n∈ N}

Es muss jeweils gezeigt werden, dass die Mengen beschränkt und abgeschlossen sind.

Comments

Es muss nicht gezeigt werden, dass die Menge beschränkt und abgeschlossen ist. Nach dem Satz von Heine-Borel genügt es, zu zeigen dass jede Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung enthält.

Jede Überdeckung einer endlichen Menge besitzt offensichltlich eine endliche Teilüberdeckung.

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Auf meinem Buch steht, (x_k) ist eine konvergente Folge in M₁, so muss sie ab einem bestimmten Index k₀ eine konstante Folge c∈ M₁ sein, also ist ihr Grenzwert diese Konstante c und damit selbst auch in M₁, so ist die Menge abgeschlossen......Ich verstehe das nicht, wie konstruiert man so eine Folge? Wieso ist ihr Grenzwert konstant?

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Sei \( \delta=\min\{|a-b|:a,b\in M_1, a\neq b\} \). Da \( M_1 \) endlich ist, ist \( \delta>0 \). In einer Folge \( (x_k) \) aus \( M_1 \), die nicht ab einem bestimmten Index konstant ist, existiert zu jedem Index \( n_0 \) ein Index \( n_1>n_0 \), so das \( |x_{n_1}-x_{n_0}|\geq \delta \) ist. Das Folge kann dan keine Cauchy-Folge sein.

Answer 1

M₁ ist endlich, also kompakt.

M₂=(0,1] also nicht kompakt.

Comments

Die Angabe von der Menge M₁={1, . . . , n} verstehe ich nicht gut, ist die eine Menge mit diskreten Elementen 1,2,3... bis irgendeine natürliche Zahl n?

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So verstehe ich das zumindest. Ist üblich.