δ(t)*cos(t)=δ(t)*1? Wie kommt man da drauf? Delta Funktion

Question

könnt ihr mir die obige Gleichung bitte erklären. Man muss bei bei cos(t) 0 als t einsetzen, allerdings ist mir nicht klar warum dies so ist.

Comments

https://de.wikipedia.org/wiki/Distribution_(Mathematik)#Multiplikati…

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damit kann ich leider auch nichts anfangen

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Dann wirst Du wohl darlegen muessen, womit Du was anfangen kannst. Speziell: wie habt ihr $\delta$ definiert?

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Wir hatten die Dirac Funktion bisher besonders mit dieser Eigenschaft behandelt

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Aha. Du hast also gar keine belastbare Definition der $\delta$-"Funktion", sondern nur diese magische Wunscheigenschaft.

Stelle es Dir dann so vor: $\delta$ verschwindet für $x\ne0$ und wird für $x=0$ auf so magische Weise unendlich, dass $\int_\mathbb{R}\delta(x)\,dx=1$ gilt.

Das Produkt von $\delta$ mit einer beliebigen Funktion $f$ ist dann so erklaert: $f(x)\delta(x):=f(0)\delta(x)$, denn $\delta$ verschwindet ja für $x\ne0$ eh.

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Hallo Gast, eine so schöne Ausführung kann man doch auch als Antwort formulieren :).

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Aber, warum gilt nicht f(x)δ(x):=δ(x) ??? Wenn die delta Funktion 0 ist wird das Ergebnis 0 und wenn sie unendllich ist, wird 

das Ergebnis unendlich unabhängig mit welchem Wert f(x) ich es multiplixiere oder nicht?

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Es gibt ueberhaupt keine Funktion $\delta$  im ueblichen Sinne, die die Wunscheigenschaften hat. Es ergibt daher wenig Sinn, nach dem Wert $\delta(0)$ zu fragen, oder damit gar rechnen zu wollen. Die Dirac-Funktion wirkt nur im Zusammenhang mit Integralen auf die postulierte Weise: $$\int_\mathbb{R}\delta(x)\,dx=1$$ und $$\int_\mathbb{R}f(x)\delta(x)\,dx=f(0)$$ Wenn das mit den ueblichen Rechenregeln funktionieren soll, dann muss $$f(x)\delta(x)=f(0)\delta(x)$$ sein. Wenn Dir das nicht reicht, dann musst Du in die Theorie der Distributionen einsteigen.

Answer 1

die Deltafunktion erfüllt per Definition

$\int f(x) \delta(x) dx = f(0)$.

Wegen $\int \delta(x) dx = 1$ kann man schreiben

$\int f(x) \delta(x) dx = f(0) = f(0) \int \delta(x) dx = \int f(0) \delta(x) dx$.

Vergleicht man nun die Integranden, lässt sich schlussfolgern, dass

$f(x) \delta(x) = f(0) \delta(x)$

ist. Dies gilt insbesondere für $\cos(x)$: Es ist $\cos(0) = 1$ und damit

$\cos(x) \delta(x) = 1 \delta(x)$.

Mister