Berechnung des Unendlichkeitsverhalten mit Parameter

Question

g(x)=(a^2-1)x^3+2x^2-4

Bestimmen Sie das Unendlichkeitsverhalten der Funktionen g in Abhängigkeit von a.

Ich verstehe hierbei nicht ganz, wie ich das mit dem Grenzwert hinschreiben soll, wegen dem a^2 in der ersten Klammer :/

Comments

Unterscheide die Fälle \(a^2=1\), \(a^2>1\) sowie \(a^2<1\).

Answer 1

g(x)=(a²-1)x³+2x²-4

Das hängt von dem Faktor vor x^3 ab.

wenn der positiv ist, dann geht g für x gegen unendlich auch gegen unendlich.

Also für a^2 > 1 ist es so.   oder eben |a| > 1

Für |a| < 1  ist der Faktor vor x^3 negativ, dann ist

lim für x gegen unendlich = minus unendlich.

Für |a|=1 bleibt g(x) = 2x^2 - 4 also für x gegen unendlich

geht es dann auch gegen unendlich.

Answer 2

g(x)=(a²-1)x³+2x²-4

Entscheidend ist zunächst einmal nur
der Term mit der höchsten Potenz von x.

lim x −> ∞   [ (a²-1) * x³ ]
x^3 wäre plus unendlich

falls a^2 - 1 positiv ist dann ist der Grenzwert auch positiv ( + * + )

a^2 -1 > 0
a^2 > 1
a > 1
und
a < -1

lim x −> ∞   [ (a²-1) * x³ ]
für ( a > 1 ) und ( a < -1 ) ist der Grenzwert +∞
für -1 < a < 1  ist der Grenzwert -∞

lim x −> -∞   [ (a²-1) * x³ ]
x^3 wäre minus unendlich

falls a^2 - 1 negativ ist dann ist der Grenzwert auch positiv ( - * - )

a^2 -1 < 0
a^2 < 1
-1 < a < 1

lim x −> -∞   [ (a²-1) * x³ ]
für ( a > 1 ) und ( a < -1 ) ist der Grenzwert -∞
für -1 < a < 1  ist der Grenzwert ∞

( a = 1 ) oder ( a = -1 ) bzw. a^2 = 1  müßte noch geklärt werden.