Beweise B c A => B=A\(A\B)

Question

Ich brauche bitte Hilfe beim Beweisen folgender Aussage:

B ⊆ A => B = A\(A\B)

Meine Ansätze:

B ⊆ A => B = A\(A\¬B) = A ∩ (¬A ∪ B) "dann Distributivgesetz" = (A ∩ ¬A) ∪ (A ∩ B) daraus folgt A ∩ B

Also ist B ⊆ A => B= A ∩ B

Beweis:

Sei b∈B. (∀b∈B)(∀b∈A) => ((∀b∈B):b∈A ∧ b∈B) = B

(∀b∈B : b∈A) => (∀b∈B : b∈A) = B

Wenn also ∀b∈B sind kann B folgen.

Ist das richtig ausgeführt? Bzw. Ist das ein vollständiger Beweis? Ich bitte um Tipps und Tricks und Ratschläge wie man sowas am besten macht, damit ich was dazulernen kann.

Answer 1

Ich sehe da richtige Überlegungen, aber es scheint mir etwas unklar hingeschrieben.

A \ (A\B)

= A \ (A ∩ ¬B)

= A ∩ ¬ (A ∩¬B)

= A ∩ (¬A ∪ B)  nach de Morgan

= (A∩¬A) ∪ (A∩B)  Distributivgesetz

= A∩B

= B , wenn B⊆A

Comments

Okay danke. Aber reicht das als Beweis? Bzw. wie beweise ich da richtig. ? Welche Schritte sind dazu nötig?

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was wolfgang aufgeschrieben hat ist doch ein vollständig richtiger

Beweis.

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Ja ich hab das ja auch. ich dachte nur ich muss mit B ⊆ A  , B beweisen. Wolfgang hat bewiesen, dass A\(A\B) für B stimmt wenn B⊆A.

Ich dachte ich muss von links nach rechts beweisen?

Das bedeutet ich muss den Ausdruck so beweisen, dass ich B durch A\(A\B) definiere und zeige, dass B stimmt wenn B⊆A ?

Ich hab mich nur hier verschrieben  A\(A\¬B)  , da meine ich natürlich A \ (A ∩ ¬B).

Das heißt, Wolfgangs Antwort ist wirklich komplett? 

Ich tu mir da noch sehr schwer zu sehen wann etwas fertigbewiesen ist bzw. wann genug bewiesen wurde.

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wolfgang hat doch die Gleichung

A \ (A\B)

= A \ (A ∩ ¬B)

= A ∩ ¬ (A ∩¬B)

= A ∩ (¬A ∪ B)  nach de Morgan

= (A∩¬A) ∪ (A∩B)  Distributivgesetz

= A∩B 

allgemein gezeigt. und dann ergänzt, dass in deinem

Fall ( also für B Teilmenge von A )

das letztere gleich B ist.

Damit ist unter der Vor. B Teilmenge von A alles gezeigt.

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Cool danke vielmals! Bin mir einfach noch so unsicher! und denke dann zu kompliziert weiter.

Danke euch beiden!