Kurvenintegral entlang der gezeichneten Kurve. Geg. df = 2xy dx + x^2 dy

Question

Ich habe folgende Aufgabe:

Wir betrachten das totale Differential:

Berechnen Sie das Kurvenintegral von a=(0,0) nach b=(x₀,x₀) entlang der in der Skizze gezeigten Kurve:

Wie genau macht man sowas? Ich hätte jetzt angenommen, dass man das Stück von 0 bis x₀ nicht berechnen muss, da es ja bei 0 bleibt, macht das Sinn? Und wie integriert man eine Funktion, die ein totales Differential ist?

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Könnte man nicht einfach raten, dass f(x,y) =  x^2  y  + C ist?

Vielleicht gibt es noch andere Möglichkeiten?

Answer 1

So integriert man eine Funktion, die ein totales Differential ist:

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Erstmals vielen Dank für die Antwort!

ich hätte aber noch folgende Fragen:

Wird die Wegunabhängigkeit durch den Satz von Schwarz bewiesen?

Habe ich das richtig verstanden, dass man nur einen Teil des totalen Differentials nach einer Variable integriert und dann das Integral nach der anderen Variable abgeleitet und die Ableitung gleich den zweiten Teil des Totalen Differentials setzt, um die Konstante S(0)  herauszufinden, die in diesem Fall = 0 ist?

Somit ist C die Stammfunktion des totalen Differentials und somit f(x,y)?

Und was passiert dann genau bei 4.?

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1.) Zum Satz von Schwarz : Es ist fxy=fyx, wenn fx und fy existieren und stetig sind.

Die Wegunabhängigkeit folgt aus: P(y)= Q(x)  (Integrabilitätsbedingung.)

2.) Habe ich das richtig verstanden, dass man nur einen Teil des totalen Differentials nach einer Variable integriert und dann das Integral nach der anderen Variable abgeleitet und die Ableitung gleich den zweiten Teil des Totalen Differentials setzt, um die Konstante S(0)  herauszufinden, die in diesem Fall = 0 ist?

-------> ja

3.) Somit ist C die Stammfunktion des totalen Differentials und somit f(x,y)?

->ja

4.) Dort werden die beiden Punkte eingesetzt.

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Noch zu 4)

das Ergebnis des Integrales lautet: y x^2 . Dort setzt  den oberen  Punkt (x(0) und y(0)) ein und subtrahierst den unteren  Punkt (0,0)

Lösung: y(0) *x(0))^2

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das bei 4) habe ich noch nicht ganz begriffen:

Wenn ja C schon die Stammfunktion ist, warum steht dann zu unterst nochmals ein Integralzeichen vor yx²?

Und was genau ist nun die Lösung: yx² oder y₀x₀²

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warum steht dann zu unterst nochmals ein Integralzeichen

Ich wollte schreiben  integral= y* x^2 als Lösung und habe das Gleichheitszeichen vergessen.

Du brauchst nicht nochmal integrieren.

Die Lösung ist also nach Einsetzen des Punktes y(0) *x(0)^2

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Achso, ok, jetzt sollte ich es verstanden haben.

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Nochmals eine letzte Frage, wenn es ein totales Differenzial ist (also der Satz von Schwarz gilt), ist das Integral dann immer wegunabhängig?

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nein ist es nicht.

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Was ist dann das Kriterium dafür, dass es wegunabhängig ist?

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Die Wegunabhängigkeit folgt aus: P(y)= Q(x)  (Integrabilitätsbedingung.)

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Aber ist das nicht gerade der Satz von Schwarz, dass beide zweiten Ableitungen nach x und y bzw. nach y und x identisch sind? Oder wo genau liegt jetzt da der Unterschied?

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Hier ein Link dazu:

https://de.wikipedia.org/wiki/Totales_Differential