Zeigen Sie die Formel für die Summe der ersten n Element N natürlichen Zahlen direkt:

Question

Aufgabe ist folgende: Zeigen Sie die Formel für die Summe der ersten n Element N natürlichen Zahlen direkt:
∑ⁿ k = (n(n+1)) / 2
_k+1

Erstere Umformung kann ich nachvollziehen:
1/2(∑ⁿ_k=1 k ₊ ∑ⁿ_k=1 k)

Dann folgt:
1/2(∑ⁿ_k=1 k ₊ ∑ⁿ_k=1 n - k + 1) Frage: Wieso n - k + 1? Woher erlaubt man sich das?

Der weitere Rechenschritt ist mir dann klar. Dann folgt aber der letzte Schritt:
1/2(∑ⁿ_k=1 n + 1) = 1/2*n(n+1)

Das es richtig ist, weis ich. Jedoch ist mir nicht klar, wieso ∑ⁿ_k=1 zu einem n * (n+1) wird,
denn das Summenzeichen steht schließlich für Addition? Warum also nicht (n + n + 1) ?

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Florian T. S.

Answer 1

Hi Florian,

Zu deiner ersten Frage:

Das ist einfach die Rückwärtsindizierung der Summe. Wenn du dir für ein konkretes n mal die Summanden notierst  sollte es klar sein. Anstatt 1+2+3+...+n erhältst du durch diese Schreibweise n+n-1+...+3+2+1.

Zu deiner zweiten Frage:

In dieser Summe wird n+1 insgesamt n mal addiert ;).

Gruß 

Comments

Die zweite Frage ist mir jetzt klar :-)

Die Rückwärtsindizierung habe ich eben auch vermutet.
Jedoch steht da ja n - k + 1, wenn ich rückwärts gehe folgt ja:
n + n - 1 + n - 2 + .... das k und die + 1 verwirren mich irgendwie :-/

:-)

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Das ist der Term der die Summanden darstellt.

Für k=1 ist n-k+1=n.

Für k=2 ist n-k+1=n-1

...

Für k=n ist n-k+1=1

Womit wir am Ende der Summe gelangt wären ;).

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Dankeschön Yakyu :-) Mit dem Summenzeichen stehe ich noch auf Kriegsfuß lol :-D

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Wird schon. Am Anfang ist es erstmaö wichtig den Umgang mit verschiedenet Notation zu erlernen.