Reihe. Bestimmen vom Grenzwert einer Summe.

Question

hallo Helfer,

bräuchte mal eure Hilfe bei dem Thema Grenzwert bestimmen 

Aufgabe: lim _n->∞ ∑ⁿ _k=1 1/√(4n² -k² )

danke im voraus...

Comments

Benutze im Nenner mal die 3. binomische Formel.

Vielleicht bringt das etwas.

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okay dann habe ich im Nenner unter der Wurzel dann (2n-k)*(2n+k)

aber irgendwie weiß ich noch nicht wie ich weiter machen soll, weil ich ja n und k hab

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Ich dachte, du könntest nun so was wie eine Partialbruchzerlegung machen und bekommst dann vielleich eine Teleskopsumme.

Habe aber noch nichts gerechnet. 

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okay ich probiere es mal aus aber ich bin mir nicht sicher wie weit ich komm weil teleskopsumme hab ich noch nicht gemacht... könntest du wenn du zeit und lust hast es mal zu rechnen...

Answer 1

Edit: Das mit der Divergenz war Quatsch.

Die vorliegende Summenfolge ist beschränkt und monoton fallend und konvergiert somit. Etwas mehr kommt sobald ich die Zeit dafür habe.

Gruß 

Comments

wieso kommst du drauf das die reihe divergiert?

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Hallo Gast, danke für die Frage und den damit verbundenen Hinweis, das war natürlich nicht richtig (muss mir morgens mehr Zeit zum Lesen lassen).

Werde die Antwort anpassen sobald ich die Zeit finde.

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Hallo yakyu,

danke für deine Hilfe... ich warte dann mal auf deine Tipps. :)

aber wenn es Konvergent ist dann besitzt es ja ein Grenzwert.

Gruß

Answer 2

Vielleicht hilft es, den Flächeninhalt zwischen der $x$-Achse und der Funktion $f(x)=\frac1{\sqrt{4-x^2}}$ im Intervall $I=[0,1]$ unterteilt in $n$ gleich große Teilintervalle mithilfe Riemannscher Summen zu approximieren sowie per Integral zu berechnen. Wäre dann $\frac\pi6$.

Comments

@Gastih1666  das hatten wir noch nicht die riemannsche Summe...

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oder könntest du es mir genauer erklären wie du es meinst...

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Das ist die Approximation einer krummlinig begrenzten Fläche durch geeignete Rechtecke, deren Flächeninhalte sich leichter berechnen lassen.

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wäre dann nach deiner Berechnung das Grenzwert π/6???

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Ja.$$\int_0^1\frac{\mathrm dx}{\sqrt{4-x^2}}=\frac\pi6.$$

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könntest du mit mir den Lösungsweg durchgehen? damit ich sehe wie du auf das Ergebnis gekommen bist.

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Sei also $f(x)=\frac1{\sqrt{4-x^2}}$ und $I=[0,1]$. Teile das Intervall in $n$ gleich große Teilintervalle ein, d.h. die Rechtecke haben alle die Breite $\frac1n$. Dann berechnen sich die Obersummen aus$$O_n=\sum_{k=1}^n\frac1n\cdot f\left(\tfrac kn\right)=\sum_{k=1}^n\frac1n\cdot\frac1{\sqrt{4-\left(\frac kn\right)^2}}=\sum_{k=1}^n\frac1{\sqrt{4n^2-k^2}}.$$Mittels Grenzübergang folgt$$\lim_{n\to\infty}O_n=\int_0^1\frac{\mathrm dx}{\sqrt{4-x^2}}=\arcsin\frac x2\,\bigg\vert_0^1=\frac\pi6.$$