Aloha :)
Wir wollen den Grenzwert für \(n\to\infty\) der folgenden Summe bestimmen:$$S_n\coloneqq\!\sum\limits_{k=0}^n\frac{4k-3}{3^k}$$Dazu führen wir einige Umformungen durch:
$$S_n=\sum\limits_{k=0}^n\frac{4k}{3^k}-\sum\limits_{k=0}^n\frac{3}{3^k}=4\sum\limits_{k=1}^n\frac{k}{3^k}-3\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{3^{k}}=\frac{4}{3}\sum\limits_{k=1}^nk\left(\frac{1}{3}\right)^{k-1}\!\!\!\!-3\sum\limits_{k=0}^n\left(\frac{1}{3}\right)^{k}$$Wir ersetzen das eingeklammerte \(\frac{1}{3}\) allgemein durch \(x\) und rechnen weiter:
$$S_n=\frac{4}{3}\sum\limits_{k=1}^nkx^{k-1}-3\sum\limits_{k=0}^nx^{k}=\frac{4}{3}\sum\limits_{k=1}^n\frac{d}{dx}(x^k)-3\sum\limits_{k=0}^nx^{k}$$$$\phantom{S_n}=\frac{4}{3}\frac{d}{dx}\left(\sum\limits_{k=1}^nx^k\right)-3\sum\limits_{k=0}^nx^{k}=\frac{4}{3}\frac{d}{dx}\left(\sum\limits_{k=0}^nx^k-1\right)-3\sum\limits_{k=0}^nx^{k}$$Mit Hilfer der Summenformel für die geometrische Reihe$$\sum\limits_{k=0}^nx^k=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}$$ersetzen wir die Summen-Zeichen:$$S_n=\frac{4}{3}\frac{d}{dx}\left(\frac{1-x^{n+1}}{1-x}-1\right)-3\cdot\frac{1-x^{n+1}}{1-x}$$Für \(|x|<1\) konvergieren die Summenterme für \(n\to\infty\), sodass$$S_\infty=\frac{4}{3}\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1-x}-1\right)-\frac{3}{1-x}=\frac{4}{3}\,\frac{1}{(1-x)^2}-\frac{3}{1-x}\quad;\quad|x|<1$$
Speziell für den hier betrachteten Fall ist \(x=\frac{1}{3}\), sodass
$$\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{4k-3}{3^k}=\frac{4}{3}\cdot\frac{1}{\left(1-\frac{1}{3}\right)^2}-\frac{3}{1-\frac{1}{3}}=\frac{4}{3}\cdot\frac{9}{4}-3\cdot\frac{3}{2}=3-\frac{9}{2}=-\frac{3}{2}$$
