Beweis: x~y <-> f(x)=f(y)

Question

hier die Aufgabenstellung: Sei f: A->B eine Funktion. Zeige, dass durch x~y <-> f(x)=f(y) eine Äq-Relation auf A definiert ist.

D.h. ich soll einfach zeige, dass wenn die Eigenschaften symmetrisch, transitiv und reflexiv erfüllt ist, dass das eine Äq-Rel ist.

Muss ich da -> und <- zeigen?

Symmetrisch wäre ja y~x <=> f(y)=f(x), was ja stimmen würde.

Reflexiv wäre x~x<=>f(x), was auch stimmt.

Und transitiv: x~y und y~z, dann ist x~z: f(x)=f(y) und f(y)=f(z) dann ist f(x) = f(z). Nun das stimmt doch auch. Ist das nun der Beweis, oder wie soll ich das formell gut hinschreiben?

So etwa? -> Annahme x~y <-> f(x)=f(y) und zu zeigen ist, dass dies eeine Äq-Rel ist und dann die eigenschaften hinschreiben?

Gruß

mr-maths

Answer 1

Du hast doch alles prima bewiesen.

Musst es nur noch ordentlich aufschreiben.

Comments

Ich versuchs mal:

Sei $$f: A \rightarrow B$$ eine Funktion. Zu zeigen ist folgende Äq-Rel auf A:$$ x \sim y \leftrightarrow f(x)=f(y)$$

Also sind folgende zu Zeigen: symmetrie, transitivität und reflexivität der gegebenen Relation.

-reflexiv: $$\forall x \in A: \space x\sim x \leftrightarrow f(x) = f(x)$$

-symmetrisch: $$\forall x,y \in A: \space x\sim y \rightarrow y\sim x \leftrightarrow f(x) = f(y) \rightarrow f(y)=f(x)$$

-transitiv: $$\forall x,y \in A: \space x\sim y \wedge y\sim z \rightarrow x\sim z \leftrightarrow f(x) = f(y) \wedge f(y)=f(z) \rightarrow f(x)=f(z)$$

Daraus folgt, dass $$ x \sim y \leftrightarrow f(x)=f(y)$$ eine Äq-Relation auf A ist.

Fragen dazu:

1. Gehört noch etwas dazu geschrieben bzw. ist das so richtig bewiesen?

2. Das dies für alle x und y in A gilt, ist richtig?

3. Gehört eigentlich der Ausdruck nach dem "forall" in eine runde Klammer?

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vielleicht noch sowas wie nach dem 1. f(x)=f(x) also erfüllt,
wegen Reflexivität der Gleichheit.

beim 2.:  ..........wegen Symmetrie der Gleichheit.
etc.

2. Das dies für alle x und y in A gilt, ist richtig?Ja,

bei Transitivität auch z.

Gehört eigentlich der Ausdruck nach dem "forall" in eine runde Klammer?

Kann man der Deutlichkeit halber machen, ich kenne es so nicht.

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Hm, ich weiß jetzt nicht so recht, welche antwort zu welcher Frage gehört, sorry^^.

Also Frage 3 ist beantwortet.

Was meinst du mit folgendem?

vielleicht noch sowas wie nach dem 1. f(x)=f(x) also erfüllt,
wegen Reflexivität der Gleichheit.

beim 2.:  ..........wegen Symmetrie der Gleichheit.
etc.

 

2. Das dies für alle x und y in A gilt, ist richtig?Ja,

bei Transitivität auch z.

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Ja, ist richtig.

Du hast nach

f(x)=f(x) aufgehört, weil dir klar war, dass

das immer wahr ist.

Das ist eben eine Eigenschaft der Gleichheitsrelation,

für jedes Objekt gilt a=a also auch f(x)=f(x).

Das ist eben die Reflexivität der Gleichheitsrelation.

Bei den anderen ähnlich.

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Also soll ich bei Symmetrie am Ende "wegen Symmetrie der Gleichheit" schreiben, oder was meisnt du genau?

Ich verstehe es nicht, sorry.

Also: Soll ich noch etwas hinzufügen zu meiner Lösung, oder nicht?