Zeigen Sie, dass R eine Äquivalenzrelation ist und bestimmen Sie die durch R induzierte Partition von M.

Question

Aufgabe:

Sei M = ℝ×(ℝ\ {0}) und R eine Relation auf M gegeben durch (a, b)R(c, d) :⇔a/b=c/d.

Zeigen Sie, dass R eine Äquivalenzrelation ist und bestimmen Sie die durch R induzierte Partition von M.

Problem/Ansatz:

Dass R eine Äquivalenzrelation ist glaub ich habe ich bewiesen, da:

reflexiv: (a, b)R(a, b), a/b = a/b

symmetrisch: (a, b)R(c, d) ⇔ (c, d)R(a, b), a/b=c/d ⇔ c/d=a/b

transitiv: (a, b)R(c, d) und (c, d)R(e, f) ⇒ (a, b)R(e, f), a/b=c/d und c/d=e/f also auch a/b=e/f

Doch was ist jetzt die durch R induzierte Partition von M?

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Zeigen Sie, dass R eine Äquivalenzrelation ist und bestimmen Sie durch R induzierte Partition von M.

Stichworte: äquivalenzrelation,relation,algebra,äquivalenzklassen,mengen

Aufgabe:

Sei M=Rx(R\{0}) und R eine Relation auf M gegeben durch (a,b)R(c,d) :<=> a/b=c/d.

Zeigen Sie, dass R eine Äquivalenzrelation ist und bestimmen Sie durch R induzierte Partition von M.

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Hallo

hast du die Äquivalenz gezeigt, da musst du ja nur die Gesetze überprüfen .

lul

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@babaraa: Beim "Original" ist schon eine Antwort vorhanden. Somit erledigt?

Stimmt deine Frage exakt mit dieser überein?

Answer 1

Könnte es sein, dass mit dem Fremdwort "Partition" einfach die "Zerlegung" von M in Äquivalenzklassen gemeint ist?

Comments

Ja glaub schon, also die Zerlegung von z.B. A in A = ∪_i∈I A_i

_{Aber wie geht das?}

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Die Klassen enthalten alle Brüche, die den gleichen Wert haben.

Z.B.

 1/2=2/4=144/288

 1/√(2)=√(2)/2

usw.

:-)

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Zu einer Äquivalenzklasse gehören alle Elemente, die zueinander in Relation stehen. Alle anderen Elemente gehören zu anderen Äquivalenzklassen.

Wegen 3/2 = 6/4= 1,2/0,8 = \( \sqrt{45} \)/ \( \sqrt{20} \)=...

gehören also alle "Brüche" dieser Art zur reellen Zahl 1,5.

Es gibt nun auch andere "Brüche", die andere reellen Zahlen ergeben.

Damit ist jede einzelne reelle Zahl eine Äquivalenzklasse für sich, die durch unendlich viele Paare (a; b) in Form des Ausdrucks a/b darstellbar sind.

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Vielen Dank erstmal für die schnellen Antworten :-)

Wie würde man jetzt diese Äquivalenzklasse formal hinschreiben?