Beweise die folgende Gleichung: sin^3(x)+cos^3(x)= (sinx+cosx) • (1-sinxcosx)

Question

 Ich müsste folgende Gleichung beweisen, habe aber keine Ahnung wie! Könnt ihr mir bitte helfen? Das wäre wirklich nett! 
sin³(x)+cos³(x)= (sinx+cosx) • (1-sinxcosx)
Danke, Grüße Lena

Comments

Wegen sin^2(x) + cos^2(x) = 1 kannst du 

sin³(x)+cos³(x)= (sinx+cosx) • (1-sinxcosx) 

links umschreiben zu

L= sin³(x)+cos³(x)= sin(x)(1-cos^2(x)) +cos³(x)= 

rechts mal die Klammer auflösen

R= (sinx+cosx) • (1-sinxcosx) 

Dann weiterschauen bis L und R gleich sind. 

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Ich habe den Schritt den du machst nicht so ganz verstanden. Ich muss ja nur auf der linken Seite rechnen! Kann ich das eigentlich auch mit binomischen Formeln lösen?

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Du musst doch zeigen, dass L und R gleich sind. Da ist es egal auf welcher Seite du rechnest bis beide Terme gleich sind.

Binomische Formeln darfst du benutzen, wenn sie dir etwas nützen.

Ich habe oben erst mal den trigonometrischen Pythagoras benutzt.

Lass dir z.B. damit die "alternate forms" berechnen.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28sin%28x%29%2Bcos%28x%29%29+*+%281-sin%28x%29cos%28x%29%29+

Wenn du bei L und R die gleiche "expanded form" dastehen hast, bist du fertig.

Den Beweis nach Wunsch dann noch schöner ordnen.

Answer 1

benutze sin^2(x)+cos^2(x)=1

umgestellt

(1) sin^2(x)=1-cos^2(x)

(2) cos^2(x)=1-sin^2(x)

sin^3(x)+cos^3(x)=(sin(x)+cos(x))*(1-sin(x)*cos(x))

sin(x)*sin^2(x)+cos(x)*cos^2(x)=(sin(x)+cos(x))*(1-sin(x)*cos(x))

jetzt Gleichungen (1) und (2) jeweils einsetzen

sin(x)*(1-cos^2(x))+cos(x)*(1-sin^2(x))=(sin(x)+cos(x))*(1-sin(x)*cos(x))

jetzt alle Klammern auflösen

sin(x)-sin(x)*cos^2(x)+cos(x)-cos(x)*sin^2(x)=sin(x)-cos(x)*sin^2(x)+cos(x)-sin(x)*cos^2(x)

Comments

Danke, ich habe verstanden, wie du vorgegangen bist, aber lässt sich diese Gleichung auch so beweisen, dass ich nur auf der linken Seite rechne und anschließend (sin(x)+cos(x))*(1-sin(x)*cos(x)) als Lösung erhalte?