Wieso ist das 1.beispiel surjektiv und das 2.beispiel nicht surjektiv?

Question

Wir haben mit dem Thema Abbildung begonnen und haben dabei über surjektiv, injektiv und bijektiv gesproche. Dabei warfolgendes Beispiel surjektiv :

f : Z--> Z

x--> x+1                        surjetiv                                                 (hier ist Z= ganze zahl)

dieses beispiel war nicht surjektiv

f : N--> N

x --> x+1                        nicht surjektiv (betrachte 1 )                  (hier ist N=natürliche zahl)

So wie ich es verstanden habe ist eine funktion surjektiv wenn jedes y mind. eine lösung x besitzt. das heisst y kann auch mehr als 1 x als lösung haben.

bei den folgenden beispielen kann ich es nicht nachvollziehen, weil für mich das y fehlt. ich kann mir das nicht genau erklären

ich danke euch schon einmal im Voraus

Answer 1

f : Z--> Z

x--> x+1                        surjektiv                                                 (hier ist Z= ganze zahl)

dieses beispiel war nicht surjektiv.

WEIL: Egal was für ein y aus Z man vorgibt, es gibt immer
ein X aus Z mit f(x)=y ; denn man muss ja nur von y eins abziehen
und dann hat man das x.

f : N--> N

x --> x+1                        nicht surjektiv (betrachte 1 )                  (hier ist N=natürliche zahl)

Hier klappt es nicht, weil man nie f(x)=0 hinbekommt,

da zu müsste ja das x = -1 sein, aber das ist nicht in N

Answer 2

Hi,

hier dran merkst du schonmal wie wichtig die vorliegenden Definitions- und Bildmengen sind, um über die -jektiven Eigenschaften zu urteilen.

Bei deinem ersten Beispiel ist die Funktion surjektiv, da es zu jeder ganzen Zahl \(y\) immer eine ganze Zahl \(x\) gibt, so dass \( x = y-1\).

Bei deinem zweiten Beispiel ist die Funktion nicht surjektiv, da es nicht zu jeder natürlichen Zahl \(y\) eine natürliche Zahl \(x\) gibt mit \( x = y -1 \). (Im Grunde eigentich nur in einem Fall und zwar, wenn \( y = 1 \) bzw. wenn \(y=0\), abhängig davon, wie ihr die natürlichen Zahlen definiert habt.)

Gruß