Lösungsmenge von Ungleichungen richtig? x^2-x-6≤0 und x(x^2 + 4x - 5) > 0

Question

Hi Leute. 

Ich hab hier eine Aufgabe und würde gerne wissen, ob mein Weg wie ich daran gehe richtig ist.

 Hier erstmal die Aufgabe:

So zu b) Also ich würde erstmal die Klammer auflösen.

Dann käme x³ + 4x² - 5 > 0 raus und dies würde ich dann mit der Polynomdivision lösen? ist das soweit richtig? Wenn ja, was dann? Dann bekomme ich ja 3 Lösungen und dann wars das schon oder wie? Oder muss ich da mehrere szenarien durchspielen, weil ich das immer wieder sehe, dass man die Gleichung dann umdreht also das < 0 dann macht und noch mal löst?

Bei c) Würde ich das gleiche halt machen nur halt mit der PQ Formel. Muss ich da sonst noch was beachten`? 

Answer 1

 x^2-x-6≤0       | faktorisieren. (geschickt raten oder zur Not pq-Formel)

(x-3)(x+2) ≤ 0 

Nullstellen x1=3 und x2 = -2

Ausserhalb des Intervalls [-2,3] ist das Produkt > 0.

Daher L = [-2,3] = {x Element R | -2≤x≤3} 

 x(x^2 + 4x - 5) > 0       | faktorisieren.

x(x-1)(x+5) > 0

Nullstellen x1 = -5, x2 = 0, x3 = 1.

Produkt > 0, wenn alle Faktoren > 0 oder ( ein Faktor > 0 und 2 Faktoren < 0)

Daher 

L = (-5,0) u (1, unendlich) 

       = {x Element R | (-5 < x < 0 ) oder x>1 }

Comments

Wow cool danke. Darf ich fragen, wie du auf die 

(x-3)(x+2) ≤ 0  gekommen bist? 

Und wie kamst du von 

 x(x² + 4x - 5) > 0       | faktorisieren. 

x(x-1)(x+5) > 0

auf das? Also Faktorisieren aber mir erschließt sich das nicht so wirklich

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Nimm die pq-Formel, wenn du die Faktorisierung nicht sehen kannst. (auf Vorzeichen aufpassen!)

Zum Faktorisieren: 

1. Zerlege die Zahl ohne x (=absulutes Glied) in alle möglichen Produkte.

2. Wähle das Produkt, bei dem die Summe der beiden Zahlen den Koeffizienten von x ergibt.

Man nennt das "Satz von Vieta". --> Kannst du googeln. 

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Ok Danke ich werde mich morgen früh direkt ransetzen un es ausprobieren

Answer 2

Betrachte es als Funktion 3. Grades, berechne die Nullstellen, mache eine Skizze oder berechne die Extremstellen, wann liegt die Funktion also oberhalb der x-Achse

Comments

Also um die Lösungsmenge herauszubekommen muss ich also die Funktion als 3 Grad sehen, also stimmt es ja mit "x³ + 4x² - 5 > 0" richtig? Dann halt die Polynomdivision für die Nullstellen. Dann mach ich eine Skizze und dann bin ich fertig? 

Answer 3

Zu b) Damit x(x²+4x+5)>0 ist, müssen x und x²+4x+5 das gleiche Vorzeichen haben und dürfen nicht Null sein. Wann x positiv ist, ist leicht herauszufinden. y=x²+4x+5 ist eine nach oben geöffnete Parabel, kann also nur zwischen den beiden Nullstellen negativ sein. Schneide die Mengen, wo beide Ausdrücke positiv sind. Auf ähnliche Weise kannst du den Fall x<0∧x²+4x+5<0 untersuchen.

Zu c) Ist trivial, wenn du b) so wie ich beschrieben gelöst hast.

Answer 4

So zu b) Also ich würde erstmal die Klammer auflösen.

Warum sollte man so etwas tun?

Es ist wesentlich sinnvoller, das Produkt noch weiter zu faktorisieren!