Für f:R^2->R kritische Stellen, lokale Extrema? f(x,y):=x^2 +xy + y^2 + x + y + 1

Question

Aufgabe:

Definiere \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) durch

\( f(x, y):=x^{2}+x y+y^{2}+x+y+1 . \)

(a) Bestimmen Sie die kritischen Stellen und die lokalen Extrema von \( f \).

(b) Bestimmen Sie das Maximum und das Minimum von \( f \) auf der Menge

\( Q:=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid\|(x, y)\|_{\infty} \leq 1\right\} \)

Answer 1

So, nach etwas Tüftelei habe ich a) lösen können, aber bei b) weiß ich immer noch nicht weiter.

Comments

Gemäss WolframaAlpha müsste das Minimum bei 2/3 sein.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=f%28x%2Cy%29%3A%3Dx2+%2Bxy+%2B+y2+%2B+x+%2B+y+%2B+1

Das Maximum irgendwo auf dem Rand des angegebenen Gebiets. Da müsste man aber erst mal wissen, was du hier für eine Abstandsmessung II  II∞ benutzt.

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Für einen Vektor x=(x₁,...,x_n)∈ℝⁿ ist IIxII_∞=max{|x₁|,...,|x_n|}.

Das selbe Minimum habe ich auch raus, oder zumindest den Punkt (-1/3,-1/3), den ich als Stelle eines strikt lokalen Minimums angegeben habe. Sollte der Funktionswert davon auch angegeben werden?

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Da steht Minimum, nicht Minimalstelle. Somit brauchst du den Wert auch.

 IIxII_∞=max{|x₁|,...,|x_n|}.

Das Maximum wäre dann wegen der Vorzeichen in (1|1) und hätte den Wert 6. Oder?

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Das erscheint mir logisch, da wir am Rand = 1 des durch die Maximumsnorm gebildeten Quadrates nach dem Maximum suchen, oder? Ich wüsste jedoch nicht, wie man das vernünftig ausgedrückt aufschreibt.

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f(x,y):=x^2 +xy + y^2 + x + y + 1

In (1/1) ist jeder einzelne Summand maximal. Daher auch die Summe.

Sobald man eine oder zwei Zahlen <1 einsetzt ist auch das Produkt <1.